应试策略 3. 重视函数思想的指导作用. 用变量和函数来思考问题的方 法就是函数思想. 函数思想是函数概念、性质等知识在更 高层次上的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用 中抽象出来的带有观念性的指导方法. 函数思想的应用： (1)在求变量范围时，考虑能否把该变量表示为另一变量的函 数，从而转化为求该函数的值域； (2)构造函数是函数思想的重要体现； (3)运用函数思想要抓住事物在运动过程中保持不变的那些规 律和性质，从而更快更好地解决问题.
2010届高考数学二轮 复习系列课件
19《函数》
二轮复习专题
函数
试题特点
1. 高考函数试题考查情况 2008年的高考在全国19套试卷中，都有体现，重点考
查了函数的定义域、值域、指数函数、对数函数、二次函
数的图象及其性质，函数的应用，函数与导数的综合，处 理最值、单调性问题、求解析式、求参数范围等. 据此可知，有关函数的试题是高考命题的重要题型， 它的解答需要用到函数的基础知识、基本性质，导数的相
x 1, x 1,
对于 , 当 k 0时，函数F(x)在 (,1) 上是增函数； 1 1 (1 ,1) 当 k 0 时，函数F(x)在 (,1 )上是减函数，在 k k 上是增函数； 1 F ( x) k ( x 1) 对于 ， 2 x 1 当 k 0 时，函数F(x)在 1, 上是减函数； 1 当 k<0 时，函数F(x)在 1,1 1 上是减函数，在 1 4k , 4k 上是增函数。
2008
x 解：依题意，计算得：f x 1 x , f 1
1
2 x
1 f1 1 1 f1 x
f3 x
1 f3 1 f2 x 1 , f4 x x 1 f2 x 1 1 f3
，
4 n 3 4n
x 1 据此 ， f x x 1 , f x x 因为2008为4n型，故选（C）.
2
2
考题剖析
［点评］在处理函数单调性的证明时，可以充分利 用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的 单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性 质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便。
考题剖析 例5. 已知函数f (x)=x2－2x－3, x∈［0,1］, g (x)=x3－3a2x－2a, x∈［0,1］. （1）求f (x)的值域M； （2）若a≥1，求g (x)的值域N； （3）在（2）的条件下，若对于任意的x∈［0,1］，总存在 x0∈［0,1］使得f(x1)=g(x0)，求a的取值范围.
f 4 n1 x
1 x 1 , f 4考查复合函数的求法，以及是函数周 期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、
归纳，要有从特殊到一般的思想。
三、函数的性质
考题剖析
1、课标要求 （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小） 值及其几何意义； （2）结合具体函数，了解奇偶性的含义； 2、解题注意事项 （1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 其次确定f(－x)与f(x)的关系； 最后作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。 （2）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。 （3）用导数判断函数的单调性，函数导数大于零，在该区间上，函数是单 调递增的，函数导数小于零，则函数是递减的。
考题剖析
解：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时， 兔子在同一时间的路程比乌龟短。
［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查 函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的
能力，在复习时应引起重视。
考题剖析
二、复合函数与分段函数 1、课标要求 （1）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能 简单应用； （2）了解简单复合函数的求法，会求复合函数的 函数值。 2、解题注意事项 （1）解分段函数要注意第个子区间的定义域，每 个子区间的解析式有所不同； （2）对于复合函数y=f[g(x)]，可以令y=f(u)， u=g(x)，取u为中间变量，分开求解，容易理解。
考题剖析
例2、（2008广东惠州一模）“龟兔赛跑”讲述了这 样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲 起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点 了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达 了终点…用S1 、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程， t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）
四、指数函数 一．课标要求 1．指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人 体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握 幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函 数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、解题注意事项 （1）指数函数的性质： 函数的定义域为R；函数的值域为；（0，＋∞） 当0＜a＜1时函数为减函数，当a＞1时函数为增函数。 （2）函数图像： ①指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； ②指数函数都以x轴为渐近线（当0<a<1时，图象向左无限接近轴，当a>1时， 图象向右无限接近轴）。
考题剖析
例3、（2008广东惠州一模）设 f x 1 x
，又记 1 x f1 x f x , f k 1 x f f k x , k 1, 2,, 则 f x （ ） 1 x x 1 1 A．1 x ； B．x 1 ； C．x； D． x ；
考题剖析 ［解析］ （1）∵f (x)=(x－1)2－4, x∈[0,1] 故f (x)值域为M=［－4,－3］
（2） ∵g′(x)=3x2－3a2=3(x2－a2) ∵x∈[0,1] , a≥1 ∴x2－a2≤0 即g′(x) ≤0 ∴g (x)=x3－3a2x－2a在[0,1]上单调递减 故g (x)的值域为N=［1－2a－3a2,－2a］
1 kx, F ( x) f ( x) kx 1 x x 1 kx,
F ( x) 1 kx( x 1) 1 x
x 1, x 1,
1 (1 x) 2 k , F '( x) 1 k , 2 x 1
考题剖析
考题剖析
例6、（2007山东） 1 N x Z 2 4，则 M N 已知集合 M 1,1 ， （） 2 A. {－1,1} B. {－1} C. {0} D. {－1,0} N 解：集合N为： x Z 2 1 2 x1 2 2 由于底数为2，由指数函数的性质，得： －1＜x＋1＜2，即－2＜x＜1 即：N＝{x|-2<x<1} 所以， M N {－1}，故选（B）。
试题特点
(3)巧综合. 为了突出函数在中学中的主体地位， 近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，加 大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包 括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能 力)的综合程度.
(4)变角度. 出于“立意”和创设情景的需要， 函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重 视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、 开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显 得新颖、生动、灵活.
应试策略 1. 高考函数试题，主要有以下几种形式： (1)函数内容本身的综合，如函数的概念、图象、性质等方面 的综合. (2)函数与其他知识的综合，如方程、不等式、数列、平面向 量、解析几何等内容与函数的综合，主要体现函数思想的 运用； (3)与实际问题的综合，主要体现在数学模型的构造和函数关 系的建立.
应试策略
4. 重视导数在研究函数性质方面的重要作用. 利用导数求闭 区间上连续函数的极值、最值，研究函数在某一个闭区
间上的单调性，求函数的单调区间，已经成为新的命题
热点，在学习中应给予足够重视.
考题剖析
一、函数的图象 1、课标要求 （1）掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、 一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等； （2）识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围， 变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周 期性。甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；能认识与实际情 景结合的函数图象题。 2、解题注意事项 掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体 现。复习函数图像要注意以下方面。 （1）掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法． （2）会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问 题． （3）用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学 问题． （4）掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分 析能力．
考题剖析
例4、（2008广东高考试题）设 k R ，函数
1 ，x 1 ， f ( x ) 1 x x 1，x ≥ 1
， F ( x) f ( x) kx x R
，试讨论函
数F(x)的单调性．
上是减函数； 在
F ( x)
1,
考题剖析
【解析】
考题剖析