授课教案③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n Λ③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n Λ[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n na ；5，55，555，…()11095-=⇒n n a .2 等比数列 （1）性质当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k1i ia}成等比数列。

3 等差、等比数列的应用（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）；若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。

典型例题例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。

例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{nS n}的前n 项和，求T n 。

例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求： （1） 数列{a n }的通项公式；（2）设1n n n a a 1b +=，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 21<.例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。

例5、设{a n }是等差数列，n a n )21(b =，已知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=81，求等差数列的通项a n 。

4 练习1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2)，则它的前n 项和S n =______。

2 设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项之和为100，后2n 项之和为200，则该等差数列的中间n 项的和等于________。

3 若不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，则(2-log b a)(1+log c a)=________。

4 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。

5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0，公比q>-1（q ≠1），设数列{b n }的通项b n =a n+1+a n+2（n ∈N +），数列{a n },{b n }的前n 项和分别记为A n ，B n ，试比较A n 与B n 大小。

6 数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n+2=2a n+1-a n （n ∈N +） （1） 求数列{a n }通项公式；（2） 设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ；（3）设)a 12(n 1b n n -=（n ∈N +）T n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，使得对于任意的n ∈N +，均有32mT n >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。

二、不等式章节知识点 1、实数的大小比较法则：设a ，b ∈R ，则a>b ⇔；a ＝b ⇔；a<b ⇔. 2、不等式的5个性质定理及其3条推论 定理1（对称性） a>b ⇔定理2（同向传递性） a>b ，b>c ⇒ 定理3 a>b ⇔a ＋c > b ＋c 推论 a>b ，c>d ⇒ 定理4 a>b ，c>0⇒ a>b ，c<0⇒推论1 (非负数同向相乘法) a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a>b ＞0 ⇒n n b a > (n ∈N 且n>1) 定理5 a>b ＞0⇒>n a n b (n ∈N 且n>1) 3 均值不等式以及灵活变式设a ，b ∈R ，则○1a 2》0；○2a 2+b 2》0 设a ，b ∈（0，+∞），则2ba +》ab 2，当且仅当时等式成立。

灵活变式：○1）（2b a +22b a 22+；○2ab 2b a 22+；○3ab ）（2b a +2；○4（a+b ）24ab 当且仅当a=b 时，各式中等号成立。

4 例题例1．设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小．例2设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系（）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b例3. 函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．5 练习1、若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a2、若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc ．3、已知函数f(x)＝xax x ++22，x ∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围．4、(2008广东理)若变量x,y 满足 ,则z=3x+2y 的最大值是 ( )A ．90 B. 80 C. 70 D. 405、已知x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y •的最大值是。

{}2540A x x x =-+|≤，6、已知集合{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．6、一元二次不等式及其解法会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等式．解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

（1）用图象法解一元二次不等式（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系 练习1 不等式2x x >的解集是（ ）A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．(0)(1)-∞+∞U ，， 2 不等式224122xx +-≤的解集为．3 解不等式|5x+1|>2-x4 已知|x-a|<2m ε,0<|y-b|<2aε,y ∈(0,m)，求证:|xy-ab|<ε ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,502,402y x y x y x5 已知a 、b 、c ∈R+，且a+b+c=1.求证： （1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8（1－a ）（1－b ）（1－c ）6 已知a>0,b>0,c>0,且a,b,c 不全相等.求证：bc ac aba b c++>a+b+c. 7 已知不等式02>++c bx ax 的解集为()βα,且βα<<0 求不等式02>++a bx cx 的解集。

8 方程()0342=-+-a x ax 的两个根都在区间()1,0内，求实数a 的取值范围。

9．不等式0)(322>++-a x a a x 的解集为{|x 2a x <或ax >}则实数a 的取值范围 .10 本公司计划20XX 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？11 某化工企业20XX 年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备？课后作业1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x ＞0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2．不等式x 2－ax －b <0的解集为{x |2<x <3}，则bx 2－ax －1>0的解集为( )A ．{x |2<x <3} B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13D.{}x |－3<x <－23．(2009·天津)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)4．(2009·山东)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)5．若－1＜a ＜0，则不等式(x －a )(ax －1)＜0的解集为________．6．已知函数f (x )＝(x －2)x 2－2x －3，则不等式f (x )≥0的解集是________． 7．(2010·辽宁丹东调研)若x ∈R，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，则a 的范围是________．8．解关于x 的不等式x 2－x ＋3x 2＋ax＞0(a ≠0)．9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞x 的解集为(1,2)，若f (x )的最大值大于1，求实数a 的取值范围．10．(2010·安徽铜陵调研)国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策， 现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税， 每销售100元要征税R 元(叫做税率R%)，则每年的销售收入将减少10R 万瓶，要使每 年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R 应怎样确定？。