尾数与余数
自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

一、尾数乘方问题
1. 尾数规律
57+48的和的尾数，就是 的和的尾数
几个自然数的和的尾数等于这几个自然数的个位数的和的尾数。

87-45的差的尾数，就是 的差的尾数
几个自然数的差的尾数等于这几个自然数的个位数的差的尾数。

16×43的积的尾数，就是 的积的尾数
几个自然数的积的尾数等于这几个自然数的个位数的积的尾数。

规律1：几个自然数的和、差、积的尾数等于这几个自然数的个位数的和、差、积的尾数。

2. 乘方
求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

其中，a 叫做底数，n 叫做指数，当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可读作“a 的n 次幂”。

3. 乘方尾数规律
尾数变化规律（n 为正整数）：
（1）2n 的尾数是以“4”为周期循环变化，分别为：2，4，8，6；
（2）3n 的尾数是以“4”为周期循环变化，分别为：3，9，7，1；
（3）4n 的尾数是以“2”为周期循环变化，分别为：4，6；
（4）0 n 、1n 、5n 和6n 的尾数分别是常数0、1、5和6；
（5）7n 的尾数是以“4”为周期循环变化，分别为：7，9，3，1；
（6）8n 的尾数是以“4”为周期循环变化，分别为：8，4，2，6；
（7）9n 的尾数是以“2”为周期循环变化，分别为：9，1。

规律2：一个自然数的平方的尾数只能是0、1、4、5、6、9这六个数。

计算尾数：底数留个位；指数除以周期留余数；
周期为4：指数末两位除以4留余数。

例1：求 1111332211⨯⨯⨯⨯ 的尾数。

例2： 126+237+348+459的和是不是5的倍数？
例3：求31998⨯51999 ⨯72000 的尾数？例4：求941997- 51998 - 71999的个位数字是几？
练习：
1.22007+32008+42009的个位数是多少？
A．1 B．3 C．7 D．9
2.12007+32007+52007+72007+92007的值的个位数是：
A．5 B．6 C．8 D．9
3.19991998的末位数字是：
A．1 B．3 C．7 D．9
4.19981999＋19991998的尾数是：
A．3 B．6 C．7 D．9
5.20082008+20092009的个位数是：
A．3 B．5 C．7 D．9
二、余数的那些事儿
1．余数小于除数
2．带余除法：被除数＝除数×商＋余数
除数=（被除数-余数）÷商
商=（被除数-余数）÷除数
3. 如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

例5：一个三位数除以43，商是a，余数是b。

求a＋b的最大值。

例6：（1）写出除213后余3的全部两位数。

（2）1013除以一个两位数，余数是12。

写出符合条件的所有的两位数。

例7：甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

例8：有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少?
练习：
6.被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

例9：把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
例10：555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？
三、余数的运算
和的余数等于余数的和；积的余数等于余数的积。

即：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

余数的运算性质可以推广到多个自然数的情形。

例11：有一列数,前两个数是3和4,从第3个数开始,每一个数都是前两个数的和,这列数第2001个数除4，余数是多少？
例12. 已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。

（1）甲、乙两数的和除以9余数是几? （2）甲、乙两数的差除以9余数是几?
（3）甲、乙两数的积除以9余数是几?
例13：求478×296×351除以17的余数？例14：19941995 7 的余数是多少？。