建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式： 1、求线段的长度：222z y x AB ++==()()()212212212z z y y x x -+-+-=2、求P 点到平面α的距离：PN =，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量）3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ⋅=θ，(l PM ⊂,α∈M ,为α的法向量)4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos =θ5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ⋅=θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量）6、求二面角的平面角θ：SS 射影=θcos ，（射影面积法）7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量，则由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n b n a ，可求得法向量．高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。

而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。

一﹑直接建系。

当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。

例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ﹑ABEF 互相垂直。

点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a （20<<a ）。

（1）求MN 的长； （2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小。

解：（1）以B 为坐标原点，分别以BA ﹑BE ﹑BC 为x ﹑y ﹑z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz ，由CM=BN=a ，M(a 22，0，a 221-),N （a 22，a 22，0） ∴ =(0，a 22，122-a ) ∴ =22)22()122(a a +- =21)22(2+-a （20<<a ）（2）由（1）MN =21)22(2+-a所以，当a=22时，min=22， 即M ﹑N 分别移动到AC ﹑BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22。

（3）取MN 的中点P ，连结AP ﹑BP ，因为AM=AN ，BM=BN ，所以AP ⊥MN ，BP ⊥MN ，∠APB 即为二面角α的平面角。

MN 的长最小时M(21，0，21),N （21，21，0）由中点坐标公式P(21，41，41),又A （1，0，0），B （0，0，0） ∴ PA =(21，-41，-41)，PB =(-21，-41，-41)∴ cos ∠APB==838316116141⋅++-=-31∴ 面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小为π-arccos 31例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD 是边长为4的正方形，E ﹑F 分别是AB ﹑AD 的中点，GC ⊥面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。

解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ， 由题意 C （0，0，0），G （0，0，2），E （2，4，0），F （4，2，0），B （0，4，0）∴ GE =（2，4，-2），GF =（4，2，-2），BE =（2，0，0） 设平面EFG 的法向量为=（x ，y ，z ）得{02420224=-+=-+z y x z y x ，令z=1，得x=31，y=31，即=（31，31，1），在方向上的射影的长度为d =BE =1919132++11例3. (2000年二省一市高考题) 在直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中CA=CB=1， ∠BCA=900，棱A A 1=2，M ﹑N 分别是A 1B 1﹑A 1 A 的中点。

（1）求的长； （2） 求cos ><11,CB BA ；（3）求证：A 1B ⊥C 1M 解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ，则C （0，0，0），B （0，1，0），N （1，0，1），A 1（1，0，2），B 1（0，1，2），C 1（0，0，2），M (21，21，2)（1）=（1，-1，1），=3；（2）1CB =（0，1，2），1BA =（1，-1，2） ∴ cos ><11,CB BA=CB BA=5641⋅+-=1030（3）A 1=（-1， 1，-2），M C 1=(21，21，0)∴ B A 1•M C 1= -1×21+1×21+(-2)×0=0 ∴ A 1B ⊥C 1M二﹑利用图形中的对称关系建系。

有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。

例4. (2001年二省一市高考题)如图，以底面边长为2a 的正四棱锥V-ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点，高OV 为h 。

（1）求cos ><,； （2）记面α-VC-β的平面角，求∠BED 。

解：（1）由题意B （a ，a ，0），D （-a ，-a ，0），E （-2a ，2a ，2h）∴=（-23a ，-2a ，2h），=（2a ，23a ，2h）cos ><,==425425443432222222ha h a h a a +⋅++-- =2222106ha h a ++- （2） ∵ V （0，0，h ），C （-a ，a ，0）∴VC =（-a ，a ，- h ）又 ∠BED 是二面角α-VC-β的平面角 ∴ ⊥，⊥即 BE ·VC =232a -22a -22h = a 2-22h =0， a 2=22h 代入 cos ><,=2222106h a h a ++-=-31即∠BED=π-arccos 31三﹑利用面面垂直的性质建系。

有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系。

例5. (2000年全国高考题) 如图，正三棱柱ABC- A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a 。

（1） 建立适当的坐标系，并写出A ﹑B ﹑A 1﹑C 1的坐标； （2） 求 AC 1与侧面AB B 1A 1所成的角。

解：（1）如图，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴，以经过原点且与ABB 1A 1垂直的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

由已知得：A （0，0，0），B （0，a ，0），A 1（0，0，2a ），C 1（-a 23，2a，2a ）（2）取A 1B 1的中点M ，于是有M （0，2a，2a ），连AM ﹑M C 1有 1MC =（-a 23，0，0），且AB =（0，a ，0），1AA =（0，0，2a ） 由于1MC ·=0，1MC ·1AA =0，故M C 1⊥平面AB B 1A 1 。

∴ A C 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面AB B 1A 1所成的角。

∵ 1AC =（-a 23，2a ，2a ），=（0，2a ，2a ）, ∴ 1AC ·=0+42a +2a 2=492a ,1AC =2222443a a a ++=3a ，AM =2224a a +=23a∴ cos ><AC ,1=aa a 233492⋅=23 ∴ 1AC 与AM 所成的角，即AC 1与侧面AB B 1A 1所成的角为30o 。

例6. (2002年上海高考题) 如图，三棱柱OAB- O 1A 1B 1，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1O B=600, ∠AOB=900，且OB= OO 1=2，OA=3。

求：（1）二面角O 1–AB –O 的大小；（2）异面直线A 1B 与A O 1所成角的大小。

（结果用反三角函数值表示） 解：（1）如图，取OB 的中点D ，连接O 1D ，则O 1D ⊥OB∵ 平面OBB 1O 1⊥平面OAB ， ∴ O 1D ⊥面OAB ，过D 作AB 的垂线，垂足为E ，连结∠DE O 1为二面角O 1–AB-O 的平面角。

由题设得O 1D=3sin ∠OBA=22OB OA OA +=721 ∴ DE=DBsin ∠OBA=721 ∵ 在Rt ΔO 1DE 中，tan ∠DE O 1=7∴ ∠DE O 1=arctan 7，即二面角O 1–AB –O 的大小为arctan 7。

（2）以O 为原点，分别以OA ﹑OB 所在直线为x ﹑y 轴，过点O 且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系。

则O （0，0，0），O 1（0，1，3）， A （3，0，0）， A 1（3，1，3）， B （0，2，0），则B A 1=（-3，1，-3），A O 1=（3，-1，-3） cos 〈A1，A O 1〉=77313+--=-71故异面直线A 1B 与A O 1所成角的大小arccos 71。

姓 名： 张传法地 址： 山东临沂市罗庄区一中 （276017） E-mail :（注：本文发表于《数学通讯》2004年第6期）。