空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧
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一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2,底面ABCD 就是直角梯形,∠A 为直角,AB ∥CD ,AB ＝4,AD ＝2,DC ＝1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值.
解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(０,1,2)、B (2,4,０), ∴1(232)BC =--u u u u r ，，,
(010)CD =-u u u r ，，. 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ,
则11317cos BC CD BC CD θ==u u u u r u u u r g u u u u r u u u r . 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1.已知2AB =
,BB 1＝2,BC ＝1,∠BCC 1＝3π.求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值.
解析:如图2,以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴,过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系.
由于BC ＝1,BB 1＝2,AB ＝2,∠BCC 1＝3
π, ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,有B (０,０,０)、A (０,０,2)、B 1(０,2,０)、3102c ⎛⎫-
⎪ ⎪⎝⎭，，、13302C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，. 设30E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，且1322a -<<,
空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧 由EA ⊥EB 1,得10EA EB =u u u r u u u r g ,
即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭
g ，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=,∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
g , 即12a =
或32a =(舍去).故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，. 由已知有1EA EB ⊥u u u r u u u r ,111B A EB ⊥u u u u r u u u r ,故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A u u u u r 与EA u u u r 的夹角.
因11(002)B A BA ==u u u u r u u u r ，，,31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝u u u r ，，
故1111
2cos 3EA B A EA B A θ==u u u r u u u u r g u u u r u u u u r ,即2tan 2θ= 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3,在四棱锥V －ABCD 中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD .
(1)证明AB ⊥平面VAD ;
(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值.
解析:(1)取AD 的中点O 为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系.
设AD ＝2,则A (1,０,０)、D (－1,０,０)、B (1,2,０)、
V (０,０,3),∴AB u u u r ＝(０,2,０),VA u u r ＝(1,０,－3).
由(020)(103)0AB VA =-=u u u r u u r g
g ，，，，,得 AB ⊥VA .
又AB ⊥AD ,从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直,∴ AB ⊥平面VAD ;
(2)设E 为DV 的中点,则13022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， ∴33022EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，,3322
2EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，,(103)DV =u u u r ，，. ∴332(103)02EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r g g ，，，，, ∴EB ⊥DV .
又EA ⊥DV ,因此∠AEB 就是所求二面角的平面角.
∴21cos 7EA EB EA EB EA EB
==u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，. 故所求二面角的余弦值为21. 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V －ABCD 中,E 为VC 中点,正四棱锥底面边长为2a ,高为h .
(1)求∠DEB 的余弦值;
(2)若BE ⊥VC ,求∠DEB 的余弦值.
解析:(1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系,其中
O x ∥BC ,O y ∥AB ,则由AB ＝2a ,OV ＝h ,有B (a ,a ,０)、C (-a ,a ,０)、D (-a ,-a ,０)、V (0,0,h )、
222a a h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，,3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
u u u r ，，. ∴22
226cos 10BE DE a h BE DE a h BE DE -+==+u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，, 即22
226cos 10a h DEB a h
-+=+∠; (2)因为E 就是VC 的中点,又BE ⊥VC ,
所以0BE VC =u u u r u u u r g ,即3()0222a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭g ，，，，, ∴22
230222
a h a --=,∴2h a =. 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+u u u r u u u r ，,即1cos 3
DEB =-∠. 五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线,但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等),利用自身
对称性可建立空间直角坐标系.
例5已知两个正四棱锥P －ABCD 与
Q －ABCD 的高都为2,AB ＝4.
(1)证明:PQ ⊥平面ABCD ;
(2)求异面直线AQ 与PB 所成的角;
(3)求点P 到平面QAD 的距离.
(2)由题设知,ABCD 就是正方形,且AC ⊥BD .由(1),PQ ⊥平面ABCD ,故可分别以直线CA DB QP ，，为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系(如图1),易得
(2202)(0222)AQ PB =--=-u u u r u u u r ，，，，，,1cos 3
AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，. 所求异面直线所成的角就是1arccos
3
. (3)由(2)知,点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-u u u r u u u r ，，，，，，，，. 设n =(x ,y ,z )就是平面QAD 的一个法向量,则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g ，，
n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，
取x ＝1,得(112)--，，n =.点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==u u u r g n n
.
点评:利用图形所具备的对称性,建立空间直角坐标系后,相关点与向量的坐标应容易得出.第(3)问也可用“等体积法”求距离.。