2022-2023学年无锡天一八（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.2.如图，OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，4DE =，点F 是射线OB 上的任意一点，则DF 的长度不可能是（ ）A.3B.4C.5D.63.如图，ABC DEF ≌△△，50A ∠=︒，30C ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）A.30°B.50°C.60°D.100° 4.下列选项所给条件能画出唯一ABC △的是（ ） A.3AC =，4AB =，8BC =B.50A ∠=︒，30B ∠=︒，2AB =C.90C ∠=︒，90AB =D.4AC =，5AB =，60B ∠=︒5.下列说法正确的是（ ）A.两个等边三角形一定全等B.两个全等三角形一定成轴对称C.线段不是轴对称图形D.面积相等的两个等腰直角三角形一定全等6.如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠1比∠2大12°，则∠1的度数为（ ）A.66°B.68°C.54°D.56°7.如图，在ABC △中，4AB BC ==，90B ∠=︒，M 是AC 的中点，D 、E 分别在AB 、BC 上，且90DME ∠=︒，则四边形BEMD 的面积为（ ）A.2B.3.2C.3.6D.48.如图，已知()ABC AB BC AC <<△，用尺规在AC 上确定一点P ，使PB PC AC +=，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）A. B.C. D.9.如图，在四边形ABCD 与四边形A B C D ''''中，AB A B ''=，B B '∠=∠，BC B C ''= .下列条件中：①A A '∠=∠，AD A D ''=；②A A '∠=∠，CD C D ''=；③A A '∠=∠，D D '∠=∠；④AD A D ''=，CD C D ''=.添加上述条件中的其中一个，可使四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''.上述条件中符合要求的有（ ）A.①②③B.①③④C.①④D.①②③④10.如图，在边长为2的等边ABC △中，D 是BC 的中点，点E 在线段AD 上，连接BE ，在BE 的下方作等边BEF △，连接DF .当BDF △的周长最小时，BDF ∠的度数是（ ）A.90°B.120°C.135°D.150°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为__________.12.已知ABC DEF ≌△△，2AC =，1BC =，则EF 的长为__________.13.如图，ABC △中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AC 、AB 于点D 、E ，8AB =，则BD CD +=__________.14.如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为__________.15.如图，AC AB BD ==，90ABD ∠=︒，6BC =，则BCD △的面积为__________.16.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则此三角形的顶角为__________.17.如图，点I 为ABC △的三个内角的角平分线的交点，4AB =，3AC =，2BC =，将ACB ∠平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为__________.18.如图，90MON ∠=︒，已知ABC △中，13AC BC ==，10AB =，ABC △的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，ABC △的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C 到点O 的最小距离为___________.三、解答题（本大题共9小题，共76分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本题8分）在ABC △中，AB AC =.（1）已知72A ∠=︒，求C ∠；（2）已知ABC △的周长为20，求AB 长度的取值范围.20.（本题8分）如图，∠1=∠2，A B ∠=∠，AE BE =，点D 在边AC 上，AE 与BD 相交于点O ；（1）求证：ADC BED ≌△△；（2）若∠2=40°，求C ∠的度数.21.（本题8分）如图，在ABC △中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F .（1）若AEF △的周长为10cm ，求BC 的长；（2）若110BAC ∠=︒，求EAF ∠的度数.22.（本题8分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC △（即三角形的顶点都在格点上）.（1）在图中作出ABC △关于直线l 对称的111A B C △；（要求：A 与1A ，B 与1B ，C 与1C 相对应）（2）若格点P 到点A 、B 的距离相等，则网格中满足条件的点P 共有____________个；（3）在直线l 上找一点Q ，使QB QC +的值最小.23.（本题8分）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）（1）在线段AC 上找一点M ，使得BM CM =，请在图1中作出点M ；（2）若B ∠是锐角，请在线段BC 上找一点N ，使得点N 到边AB 的距离等于NC ，请在图2中作出点N .24.（本题8分）如图，在ABC △中，2ABC C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过B 作BF AD ⊥，垂足为F ，延长BF 交AC 于点E .（1）求证：ABE △为等腰三角形：（2）已知14AC =，5BD =，求AB 的长.25.（本题8分）如图，点E 在等边ABC △的边AB 所在直线上，以EC 为一边作等边ECF △，顶点E 、C 、F 顺时针排序.（1）点E 在线段AB 上，连接BF .求证：BF AC ∥；（2）已知6AB =，当BCF △是直角：三角形时，求BE 的长.26.（本题10分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形.（1）如图1，ABC △是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，且B D 是ABC △的一条内好线，则BDC ∠=__________度；（2）如图2，ABC △中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点B .求证：AE 是ABC 的一条内好线；（3）如图3，已知ABC △是内好三角形，且24A ∠=︒，B ∠为钝角，则所有可能的B ∠的度数为__________（直接写答案）.27.（本题10分）以ABC △的AB 、AC 为边作ABD △和ACE △，且AE AB =，AC AD =，CE 与BD 相交于M ，EAB CAD a ∠=∠=.（1）如图1，求证：AEC ABD ≌△△；（2）在图1中，连接AM ，则EMB ∠=_____________，∠AMC=__________；（都用含a 的代数式表示）（3）如图2，若50a =︒，G 、H 分别是EC 、BD 的中点，求AHG ∠的度数.答案1—5.CADBD6.B【解答】解：如图所示，由题意可得：∠3=∠4，∵AB CD ∥，∴∠2=∠3，∴∠2=∠4，由图可得，∠1+∠2+∠4=180°，∵∠1比∠2大12°，∴（∠2+12°）+∠2+∠2=180°，解得∠2=56°，∴∠1=∠2+12°=56°+12°=68°.7.D.【解答】连接BM ，易证BM CM =，45MBD C ∠=∠=︒，90BMC DME ∠=︒=∠，进而DMB EMC ∠=∠，故BMD CME ≌△△，从而142MBC ABC BEMD S S S ===四边形△△. 8.C【解答】解：∵点P 在AC 上，∴PA PC AC +=，而PB PC AC +=，∴PA PB =，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上.9.B【解答】解：连接AC ，A C ''，易证ABC A B C '''△△≌，∴BAC B A C '''∠=∠，AC A C ''=.∵①中A A '∠=∠，∴CAD C A D '''∠=∠，又AD A D ''=，∴.()ACD A C D SAS '''△△≌.进而可证两个四边形所有对应边和对应角均相等，故全等，①正确；同理，③中利用AAS 可证ACD A C D '''△△≌，④中利用SSS 可证ACD A C D '''△△≌，③④正确； 而②中的条件为SSA ，无法证明ACD A C D '''△△≌，故②错误.10.A【分析】连接CF ，由条件可以得出ABE CBF ∠=∠，再根据等边三角形的性质就可以证明BAE BCF ≌△△，从而可以得出30BCF BAD ∠=∠=︒，作点D 关于CF 的对称点G ，连接CG ，DG ，则FD PG =，依据当B ，F ，G 在同一直线上时，DF BF +的最小值等于线段BG 长，可得BDF △的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到BDF ∠的度数.【解答】解：如图，连接CF ，∵ABC △、BEF △都是等边三角形，∴AB BC AC ==，BE EF BF ==，60BAC ABC ACB EBF BEF BFE ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒， ∴ABC EBD EBF EBD ∠-∠=∠-∠，∴ABE CBF ∠=∠，在BAE △和BCF △中，AB BC ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BAE BCF SAS ≌△△，∴30BCF BAD ∠=∠=︒，如图，作点D 关于CF 的对称点G ，连接CG ，DG ，则FD FG =，∴当B ，F ，G 在同一直线上时，DF BF +的最小值等于线段BG 长，且BG CG ⊥时，BDF △的周长最小， 由轴对称的性质，可得260DCG BCF ∠=∠=︒，CD CG =，∴DCG △是等边三角形，∴DG DC DB BD ===，∴1302DBF DGB CDG BCF ∠=∠=∠=︒=∠，∴FB FC =， 又∵BD CD =，∴90BDF ∠=︒.11.1012.113.814.45°【解答】解：1232445∠+∠=∠+∠=∠=︒.15.9【解答】解：作AE BC ⊥于E ，作DF CB ⊥交CB 的延长线于F .∵AB AC =，6BC =，∴132CE BE BC ===， ∵90ABD ∠=︒，DF CB ⊥，∴ABC DBF BDF DBF ∠+∠=∠+∠，∴ABC BDF ∠=∠， ∵AE BC ⊥，∴90AEB BFD ∠=∠=︒，在ABE △和BDF △中，ABC BDF AEB BFD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE BDF AAS ≌△△，∴3DF BE ==，BCD △的高即为DF ， ∴1163922BCD S BC DF =⋅=⨯⨯=△. 16.40°或140°.【解答】解：如图1，三角形是锐角三角形时，∵50ACD ∠=︒，∴顶角905040A ∠=︒-︒=︒；如图2，三角形是钝角三角形时，∵50ACD ∠=︒，∴5090140BAC ∠=︒+︒=︒，综上所述，顶角等于40°或140°.17.4【解答】解：连接AI 、BI ，∵AI 平分CAB ∠，∴CAI BAI ∠=∠，由平移得：AC DI ∥，∴CAI AID ∠=∠，∴BAI AID ∠=∠，∴AD DI =，同理可得：BE EI =，∴BE EI =的周长4DE DI EI DE AD BE AB =++=++==，即图中阴影部分的周长为4.18.7【分析】作CH AB ⊥于H ，连接OH ，如图，根据等腰三角形的性质得152AH BH AB ===，再利用勾股定理计算出12CH =，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得152OH AB ==，则利用三角形三边的关系得到OC CH OH ≥-（当点C 、O 、H 共线时取等号），从而得到OC 的最小值.【解答】解：作CH AB ⊥于H ，连接OH ，如图，∵13AC BC ==，∴152AH BH AB ===，在Rt BCH △中，12CH ==，∵H 为AB 的中点，∴12OH AB ==， ∵OC CH OH ≥-（当点C 、O 、H 共线时取等号），∴OC 的最小值为12-5=7.19.【解答】解：（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠.在ABC △中，180A B C ∠+∠+∠=︒，∴722180C ︒+∠=︒，∴54C ∠=︒.（2）∵ABC △的周长为20，∴20AB AC BC ++=，∴220AB BC +=，∴202BC AB =-.在ABC △中，AB AC BC AB AC -<<+∴02022AB AB <-<，解得510AB <<.20.【解答】（1）略；（2）∵AEC BED ≌△△，∴DE EC =，∴C CDE ∠=∠.∵1240∠=∠=︒，∴1801702C ︒-∠∠==︒. 21.【解答】解：（1）∵AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，∴AE BE =，AF CF =，∴10cm BC BE EF CF AE EF AF =++=++=.（2）∵110BAC ∠=︒，∴18011070B C ∠+∠=︒-︒=︒.∵AE BE =，AF CF =，∴BAE B ∠=∠，CAF C ∠=∠，∴70BAE CAF B C ∠+∠=∠+∠=︒，∴()1107040EAF BAC BAE CAF ∠=∠-∠+∠=︒-︒=︒.22.【解答】解：（1）如图，111A B C △即为所求.（2）∵格点P 到点A 、B 的距离相等，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，如图所示，1P ，2P ，3P ，4P 满足题意，共4个.（3）如图，点Q 即为所求.23.【解答】解：（1）作线段BC 的垂直平分线EF ，交AC 于点M ，点M 即为所求；（作图略）（2）过点C 作BC 的垂线交BA 的延长线于点O ，作BOC ∠的角平分线交BC 于点N ，点N 即为所求.24.【解答】（1）证明：∵BE AD ⊥，∴90APE AFB ∠=∠=︒，又∵AD 平分BAC ∠，∴EAF BAF ∠=∠，又∵在AEF △和ABF △中180AFE EAF AEF ∠+∠+∠=︒，180AFB BAF ABF ∠+∠+∠=︒∴AEF ABF ∠=∠，∴AE AB =，∴ABE △为等腰三角形.（2）解：连接DE ，∵AE AB =，AD 平分BAC ∠，∴AD 垂直平分BE ，∴BD ED =，∴DEFDBF ∠=∠，∵AEF ABF ∠=∠，∴AED ABD ∠=∠，又∵2ABC C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，又∵CED △中，AED C EDC ∠=∠+∠，∴C EDC ∠=∠，∴EC ED =，∴CE BD =，∴1459AB AE AC CE AC BD ==-=-=-=.25.【分析】（1）利用SAS 证明ACE BCF ≌△△可得60CBF CAE ∠=∠=︒，即可得FBC ACB ∠=∠，进而可证；（2）可分两种情况：①当E 点在线段AB 上时，90BFC ∠=︒，②当E 点在线段AB 的延长线上时，90BCF ∠=︒，利用等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质分别计算求解即可.【解答】证明：（1）∵ABC △和ECF △为等边三角形，∴BC AC =，CE CF =，60BAC ACB ECF ∠=∠=∠=︒，∴ACE BCF ∠=∠，在ACE △和BCF △中，AC BC ACE BCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCF SAS △△≌，∴CAE CBF ∠=∠，∵60CAE ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴FBC ACB ∠=∠，∴BF AC ∥；（2）解：①当E 点在线段AB 上时，90BFC ∠=︒，∵6BC AB ==，60CBF ACB ∠=∠=︒，∴30BCF ∠=︒，∵60ECF ∠=︒，∴30BCE ∠=︒，∴90BEC ∠=︒， ∴132BE BC ==； ②当E 点在线段AB 的延长线上时，90BCF ∠=︒，∵60ECF ∠=︒，∴30BCE ∠=︒，∵60ABC BCE BEC ∠=∠+∠=︒，∴30BEC BCE ∠=︒=∠，∴6BE BC ==，综上，3BE =或6.26.【解答】解：（1）∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴12ABD CBD ABC ∠=∠=∠， ∵BD 是ABC △的一条内好线，∴ABD △和BDC △是等腰三角形，∴BD BC AD ==，∴A ABD ∠=∠，BDC C ∠=∠，∵2BDC A ABD A ∠=∠+∠=∠，∴2ABC ACB A ∠=∠=∠，∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴36A ∠=︒，∴272BDC A ∠=∠=︒.（2）∵DE 是线段AC 的重直平分线，∴EA EC =，即EAC △是等腰三角形，∴EAC C ∠=∠，∴2AEB EAC C C ∠=∠+∠=∠，∵2B C ∠=∠，∴AEB B ∠=∠，即EAB △是等腰三角形，∴AE 是ABC 的一条内好线；（3）设BE 是ABC △的内好线，①如图3，当AE BE =时，则24A EBA ∠=∠=︒，∴48CEB A EBA ∠=∠+∠=︒，若BC BE =时，则48C CEB ∠=∠=︒，∴180108ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒，若BC CE =时，则48CBE CEB ∠=∠=︒，∴7290ABC ABE CBE ∠=∠+∠=︒<︒（不合题意舍去）， 若CE BE =时，则18048662C CBE ︒-︒∠=∠==︒，∴90ABC ABE CBE ∠=∠+∠=︒（不合题意舍去）， ②如图4，当AC BE =时，则18024782AEB AEB ︒-︒∠=∠==︒，∴10290CEB A ABE ∠=∠+∠=︒>︒，∴只能是CE BE =，∴39C CBE ∠=∠=︒，∴117ABC ABE CBE ∠=∠+∠=︒；③如图5，当AB BE =时，则24A AEB ∠=∠=︒，∴132ABE ∠=︒，15690BEC ∠=︒>︒，∴只能是BE CE =，∴12C CBE ∠=∠=︒，∴144ABC ABE CBE ∠=∠+∠=︒.设CE 是ABC △的内好线，只能是CB AE =，∴24A ACE ∠=∠=︒，∵BC BE =，∴48BEC BCE A ACE ∠=∠=∠+∠=︒，∴8490ABC ∠=︒<︒（不合题意舍去）. 设AE 是ABC △的内好线，只能是CE AE =，∴C CAE ∠=∠，∴2AEB C CAE CAE ∠=∠+∠=∠.∵BE AB =，∴2BAE AEB CAE ∠=∠=∠，∵243BAC CAE ∠=︒=∠，∴8CAE ∠=︒，16BAE ∠=︒，∴148ABC ∠=︒，综上所述：108ABC ∠=︒或117°或144°或148°.27.【解答】解：（1）∵EAB CAD ∠=∠，∴EAB BAC CAD BAC ∠+∠=∠+∠，即EAC BAD ∠=∠，在AEC △和ABD △中，AE AB EAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEC ABD SAS ≌△△；（2）∵AEC ABD ≌△△，∴AEC ABD ∠=∠，8字形EABM 导角可知EMB EAB a ∠=∠=； 如图3，连接AM ，过点A 作AP EC ⊥于P ，AN BD ⊥于N ，∵ACE ADB △△≌，∴ACE ADB S S =△△，EC BD =， ∴1122EC AP BD AN ⨯=⨯⨯，∴AP AN =，又∵AP EC ⊥，AN BD ⊥， ∴()11118090222AME AMD EMD EMB α∠=∠=∠=︒-∠=︒-， ∴11909022AMC AMD DMC ααα∠=∠+∠=︒-+=︒+. （3）连接AG ，由（1）可得：EC BD =，AEC ABD ∠=∠，∵G 、H 分别是EC 、BD 的中点， ∵12EG EC =，12BH BD =，∴EG BH =. 在AEG △和ABH △中，AE AB AEC ABD EG BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEG ABH SAS ≌△△，∴AG AH =，EAG BAH ∠=∠，∴GAH GAB BAH GAB EAG EAB a ∠=∠+∠=∠+∠=∠=， ∴18019022GAH AHG AGH α︒-∠∠=∠==︒--.。