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人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件


x
c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a
所以抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
,对称轴是直线 x b 。
2a
例2 用公式法把 y 1 x2 x 5 化为
b2
;
(5)增减性:
①若a>0,当
x
b 2a
时,y随x的增大而增大;

x
b 2a
时,y随x的增大而减小。
②若a<0,当
x
b 2a
时,y随x的增大而减小;

x
b 2a
时,y随x的增大而增大。
例4 已知抛物线 y x2 k 4 x k 7,
①k取何值时,抛物线经过原点; ②k取何值时,抛物线顶点在y轴上; ③k取何值时,抛物线顶点在x轴上; ④k取何值时,抛物线顶点在坐标轴上。
x2
3x
5 2
1 2
x2
6x
5
1 x2
2
6x
9 9 5
1 2
x
32
4
1 x 32 2
2

顶点坐标为(-3,-2),对称轴为x=-3
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式,求出顶点坐标
和对称轴。
答案:y 2 x 12 5 ,顶点坐标是(1,5),
3x
( 3 )a b 2
-0.5
1-1
( 4 )a 1其 中 正 确
-1.5
的 个 数 为( )
2-2
-2.5
A.1 B.2 C .3
D-3 .4
-3.5
5.二次函数y ax2 bx c的图象开口向上,
图象经过点( 1,2 )(1,0 )且与y轴相交于负半轴
( a )问:给出四个结论(:1 )a 0( 2 )b 0( 3 )c 0
y 2x2 8x 1 2 x2 4x 1 2 x2 4x 4 4 1
2 x 22 7 7
所以当x=2时,y最小值=-7 。
解法二(公式法):
因为a=2>0,抛物线 y 2x2 8x 1有最低点, 所以y有最小值,
因为- b
8
4ac b2 2,
4 21 82
7
2
2
y a x h2 k 的形式,求出对称轴和顶点
坐标.
解:在 y 1 x2 x 5 中,a 1 ,b 1, c 5
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2

4
1 2
2
2
∴顶点为(1,-2),对称轴为直线 x=1。
2.确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3.在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像,利用函 数图像回答:
(1)x取什么值时,y=0? (2)x取什么值时,y>0? (3)x取什么值时,y<0? (4)x取什么值时,y有最大值或最小值?
解:列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … -6 0 2 0 -6 …
4ac b2 4a
0,且a<0,所以4ac b2
0,故
b2 4ac 0 。
判断2a+b的符号
(5)因为顶点横坐标小于1,即
b 2a
1

且a<0,所以-b>2a,故2a+b<0;
判断a+b+c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时,点 的纵坐标为正值,即a·12+b·1+c>0, 故a+b+c>0;
4a
4 1
k2 4k 12 0 ,解得:k1 2, k2 6 ,所 以当k=2或k=-6时,抛物线顶点在x轴 上。 ④由②、③知,当k=-4或k=2或k=-6 时,抛物线的顶点在坐标轴上。
例5 当x取何值时,二次函数 y 2x2 8x 1 有最大值 或最小值,最大值或最小值是多少?
解法一(配方法):
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
y a x h2 k 的形式,并求出顶点坐标和
对称轴。
答案:y 2 x 22 2 ,顶点坐标为
(2,2)对称轴是直线 x=2
3. y ax2 bx c 图象的画法.
步骤:1.利用配方法或公式法把y ax2 bx c
化为y a x h2 k 的形式。
y
·(2,2)y 2x2 8x 6
由图像知:
· · (1,0)
(3,0)
x
(1)当x=1或x=3时, y=0;
(2)当1<x<3时,
y>0;
(3)当x<1或x>3时,
y<0;
x=2
(4)当x=2时,
· · (0,-6)
(4,-6)
y有最大值2。
4.二次函数 y ax2 bx c 的性质:
对称轴是直线 x=1.
2.用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似.具体演算如下:
y
ax2
bx
c
a
x2
b a
2a 2 2
4a
42
所以当x=2时,y最小值=-7 。
总结:求二次函数最值,有两个方法. (1)用配方法;(2)用公式法.
例6已知函数 y 1 x2 3x 1 ,当x为何值
2
2
时,函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一: a 1 0 ,∴抛物线开口向下,
2
又y 1 x2 3x 1 1 x2 6x 9 9 1
y m 1 x2 2mx 3m 2m 1
的最大值是0,求此函数的解析式.
解:此函数图象开口应向下,且顶点纵坐
标的值为0.所以应满足以下的条件组.
m 1 0, ①
4
m
1
3m
2
2m
2
4m 1
0

由②解方程得 m1
1 2
, m2
2 不合题意,舍去
所求函数解析式为
y
1 2
1
x2
2
1 2
x
( 4 )a b c 0其中正确结论的序号是______
(b)问 : 给 出 四 个 结 论 :
y
(1)abc 0(2)2a b 0
2
(3)a c 1(4)a 1
其中正确结论的序号
是 ______
1
x
1
6.已 知 抛 物 线y ax2 bx c的 顶 点 在
抛 物 线y 3 x2上 , 并 且 它 与 抛 物 8
那么一般地,函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢?
1.用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的形式,求出顶点坐标和对称轴。
解:y
1 2
(1)顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
(2)对称轴是直线 x b
2a
(3)开口方向:当 a>0时,抛物线开
口向上;当 a<0时,抛物线开口向下。
(4)最值:
如果a>0,当 x
b 2a
时,函数有最小值,
y最小=
4ac 4a
b2
,
如果a<0,当
x
b 2a
时,函数有最大值,
y最大=
4ac 4a
2
22
2
1 x 32 9 1
2
22
1 x 32
2
5
∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时,y
随x的增大而减小。
解法二:
a 1 0 ,∴抛物线开口向下,
2
b 3 3
2a
2
1 2
∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时,y 随x的增大而减小。
例7 已知二次函数
解:①抛物线经过原点,则当x=0时,y
=0,所以 0 02 k 4 0 k 7,所以k=
-7,所以当k=-7时,抛物线经过原点;
②抛物线顶点在y轴上,则顶点横坐标为0,

b
k 4
0
,所以k=-4,所
2a
21
以当k=-4时,抛物线顶点在y轴上。
③抛物线顶点在x轴上,则顶点纵坐标为0,
即 4ac b2 4 1 k 7 k 42 0 ,整理得
例8 已知如图是二次函数y=ax2+bx+c的图 象,判断以下各式的值是正值还是负值. (1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)2a+b; (6)a+b+c;(7)a-b+c.
分析:已知的是几何关系(图形的位置、 形状),需要求出的是数量关系,所以应 发挥数形结合的作用.
判断a的符号
判断a-b+c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为-1时, 点的纵坐标为负值,即a(-1)2+b(-1) +c<0,故a-b+c<0.
结束
例9.用 总 长 为60m的 篱 笆 围 成 矩 形 场 地 , 矩 形 面 积S随 矩 形 一 边 长l的 变 化 而 变 化 , 当l是 多 少 时 场 地 面 积S最 大 ?
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