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二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质
1.二次函数的图像与性质:
2.抛物线的平移法则:
(1)抛物线k ax +=2
y 的图像是由抛物线2
y ax =的图像平移k 个单位而得到
的。

当0>k 时向上平移;当0>k 时向下平移。

(2)抛物线2
)(h x a y +=的图像是由抛物线2
y ax =的图像平移h 个单位而得到
的。

当0>h 时向左平移;当0<h 时向右平移。

(3)抛物线的k h x a y ++=2
)(图像是由抛物线2
y ax =的图像上下平移k 个单位,
左右平移h 个单位而得到的。

当0>k 时向上平移;当0>k 时向下平移;当0>h 时向左平移;当0<h 时向右平移。

3.二次函数的最值公式:
形如
c bx ax y ++=2
的二次函数。

时当0>a ,图像有最低点,函数有最小值
a b ac y 442-=
最小值
;时当0<a
,图像有最高点,函数有最大值,a b ac y 442-=
最大值

4.抛物线
c bx ax y ++=2
与y 轴的交点坐标是(0,c )
5.抛物线的开口大小是由a 决定的,a 越大开口越小。

6.二次函数
c bx ax y ++=2
的最值问题:
(1)自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。

(2)自变量的取值范围不是一切实数:
自变量的取值范围不是一切实数时,应当抓住对称轴a
b
x 2-
=,把他与取值范围相
比较,再进行求最值。

6.二次函数与一元二次方程的关系:
(1)抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标的横坐标方程02=++c bx ax 的两根。

(2)抛物线与x 轴的交点个数是由ac b 42-=∆决定的:
当0>∆时抛物线与x 轴有两个交点;当0=∆抛物线与x 轴有一个交点;当
0<∆时抛物线与x 轴没有点。

0≥∆时抛物线与x 轴有交点。

(此定理的逆定理也成
立。


7.二次函数的三种常用形式:
(1)一般式:k h x a y ++=2
)( (2)顶点式:
c bx ax y ++=2
(3)两根式:
))((21x x x x a y --=
8.一元二次方程的解法:
(1)直接开平方法;(2)配方法;(3)公式法;(4)因式分解法;(5)图像法。

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