（第2题图） 2019全国初中数学竞赛初三预赛试题
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
2018年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
〔本卷总分值120分，考试时间120分钟〕
【一】选择题〔本大题共6个小题，每题5分，共30分〕
在以下各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分、
1.从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是〔〕
A 、41
B 、31
C 、21
D 、1
2、如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，那么△ABC 的周长为〔〕 A 、38 B 、39 C 、40 D.41
3、1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，那么y x 的值等于〔〕
A 、9
5
B 、5
9
C 、
52011- D 、9
2011-
4、直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边 为直径作三个半圆(如下图)，两个月牙形(带斜线的阴
影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形〔带点的阴影图形〕面积之和的是〔〕
A 、6 B.7C 、8 D 、9
5、设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2
)2(2b a cx x b a y -
---=在1=x 时取最小值
b 5
8-，那么△ABC 是〔〕 A 、等腰三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、直角三角形
6、计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原那么，如图，堆栈〔1〕中的2个连续存储单元
已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈〔2〕的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ， e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据〔每次取出1个数据〕
，那么不
（1） （2）
（第5题图）
同顺序的取法的种数有〔〕
A 、5种
B 、6种
C 、10种
D 、12种 【二】填空题〔本大题共6个小题，每题5分，共30分〕 7、假设
4122=---x x ，那么满足该方程的所有根之和为.
8、〔人教版考生做〕如图A ，在
中，过A ，B ，
C 三点的圆交A
D 于
E ，且与CD 相切，假设AB =4，BE =5
，那么DE 的长为、 8、〔北师大版考生做〕如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，那么FG AF
=
、
9、012=--a a ，且3222
322
324-=-++-a
xa a xa a ，那么=x 、 10、元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.假设两人购买商品一共花费了172元，那么其中单价为9元的商品有件、
11、如图，电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，那么电线杆AB 的长为m 、
12、实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，y x 四个数中的三个有相同的数值，那么所有具
有这样性质的数对),(y x 为、
3个小题，每题20分，共60分〕
13. ：))(())(a x c x c x b +++++是完全平方式、 14.〔此题总分值20分〕如图，将OA =6，AB =4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP 、
〔1〕点B 的坐标为；用含t 的式子表示点P 的坐标为；
〔2〕记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式〔0<t <6〕；并求t 为何值时，S 有最大
值？
〔3〕试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角
形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的3
1？假设存在，求出点T 的坐
15.〔此题总分值20分〕
对于给定的抛物线b ax x y ++=2〔1〕证明：抛物线px x y ++=2〔2〕证明：以下两个二次方程，x 实数根. （备用图）
(第14题图)
(第11题图)
A B C
D （第8题图A ）
G
F E
C
B
A
（第8题图B ）
D
2018年九年级试卷参考答案
一、选择题〔每题5分，共30分〕1—6CDBADC 二、填空题〔每题5分，共30分〕：
7.62-；8.A ：516；B ：12
；9.4；10.12；11.26；12.)1,21
(-)1,2
1
(--. 【三】解答题：〔每题20分，共60分〕
13.证明：把代数式整理成关于x 的二次三项式，得
原式＝3x 2
+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式，∴△＝0. 即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0.∴2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0, (a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-=-000
a c c
b b a
解这个方程组，得c b a ==. 14.解：〔1〕〔6，4〕；〔
2,3
t t 〕.〔其中写对B 点得1分〕 ………………………………3分
〔2〕∵S △OMP =12×OM ×23
t
，
∴S =12×〔6-t 〕×23t =213t -+2t ＝2
1(3)3
3
t --+〔0<t <6〕、
∴当3t =时，S 有最大值、…………………………………………8分
〔3〕存在、
由〔2〕得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M 〔3，0〕，N 〔3，4〕， 那么直线ON 的函数关系式为：43
y x
=、
设点T 的坐标为〔0，b 〕，那么直线MT 的函数关系式为：3
b
y x b
=-+， 解方程组
433y x b y x b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
得
3444b
x b b y b
⎧
=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为
34(,)44b b b b
++、 ∵S △OCN ＝12×4×3＝6，∴S △ORT ＝13
S △OCN ＝2、 ········· …………………10分
一、当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△OR 1T 1， 二、如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，
那么S △OR 1T 1＝12
•RD 1•OT ＝12
•34b b
+•b ＝2.
∴234160b b --=，b
∴b 1
，b 2
此时点T 1的坐标为〔0
. ·· ……………………………………………15分
②当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ， ∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为312b b
-，
作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，那么 S △R 2NE ＝12•EN •D 2=12
•312(3)b b
--
•
4(4)4b b -
+96
(4)
b b =+＝2.
∴24480b b +-=，b
2
=±.
∴b 1
＝2，b 2
＝2-〔不合题意，舍去〕、 ∴此时点T 2的坐标为〔0
，2〕、
综上所述，在y 轴上存在点T 1〔0
〕
，T 2〔0
，2〕符合条件、…20分
15.证明：〔1〕∵)(2q b ap +=
∴
b
ap q -=2
代入抛物线q px x y ++=2中，得0)2(2
=++-+-a x p b x y 得
⎪
⎩
⎪⎨⎧=+=-+-020
2a x b x y 解得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=-=4422
b a y a x ， 故抛物线q px x y ++=2通过定点
)4
4,2(2b a a --……………………10分
〔2〕∵b ap q 22-=，∴)2(2224222b ap p q p q p --=⋅-=-
=b ap p 422+-=b a a ap p 42222+-+- =)4()(22b a a p ---
∴0)()4()4(222≥-=-+-a p b a q p ∴q p 42-与b a 42-中至少有一个非负.
∴02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.…………20分
（备用图）。