三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。

4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：1cot tan =⋅αα 1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

α απ+k 2 α- απ-απ+ απ-2απ-2απ+2正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan -7. 两角和与差的三角函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-=-⋅-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⋅=-⋅-⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(8. 二倍角公式——代换：令αβ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=⋅=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin降幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα半角公式：2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααcos 1cos 12tan +-±= αααααcos 1sin sin cos 12tan+=-=9. 三角函数的图象和性质函数x y sin = x y cos = x y tan =图象定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且值域 最值]1,1[- 2/2ππ+=k x 时1max =yππ-=k x 22/时1min -=y]1,1[-πk x 2=时1max =yπk x 2=π+时1min -=yR无最大值 无最小值周期性 周期为π2 周期为π2 周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在]22,22[ππππ+-k k上都是增函数；在]232,22[ππππ++k k上都是减函数（Z k ∈）在]2,2[πππk k -上都是增函数，在]2,2[πππ+k k 上都是减函数（Z k ∈）在⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2ππππk k 内都是增函数（Z k ∈）10. 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：（1）−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1)sin(sin x y x y)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的（2）−−−−→−=−−−−−−−−−→−=ωϕωω图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin 1x y x y)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。

3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。

4. 角的和与差的相对性如：)(βαβ+=－α 角的倍角与半角的相对性如：422,22αααα==5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。

6. 数形结合：心中有图，观图解题。

7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。

8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。

【典型例题】1. 如：a bx b a x b x a y =++=+=ϕϕtan ),sin(cos sin 22（化成一个角的一个三角函数）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=±=±=±=±=)6sin(2cos sin 3)3sin(2cos 3sin )4sin(2cos sin πππx x x y x x x y x x x y ；[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？（1）x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(+⋅+=（2）1cos sin sin )(2+⋅+=x x x x f 解：（1）)42sin(22π++=x y ，22max +=y ，)(8Z k k x ∈+=ππ)(83,22min Z k k x y ∈-=-=ππ（2）)42sin(2223π-+=x y ，223max +=y ，)(83Z k k x ∈+=ππ223min -=y ，)(8Z k k x ∈-=ππ2.“1”的妙用——凑一拆一熟悉下列三角式子的化简)4sin(2cos sin cos sin 21πααααα+=+=⋅+)42sin(22cos2sin2cos2sin21sin 1παααααα-=-=⋅-=-2sin2cos 1αα=-；2cos2cos 1αα=+[例2] 化简=++-8cos 228sin 12 。

答案：4sin 2- 3. 化异为同[例3] 已知2tan =α，求：（1）ααααcos sin cos sin -+ （2）ααα222sin cos 32sin -+答案：（1）3；（2）14-[例4] 已知πθπθ<<-=2,222tan ，求：θθθθcos sin 1sin 2cos 22+--答案：223+4. ααcos sin ±与ααcos sin ⋅间的相互转化（1）若t =+ααcos sin ，则21cos sin 2-=t αα；1sin 2-=t α；ααcos sin -= 22t -±（2）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα（3）ααααα2sin 2cos sin 1cot tan ==+ [例5] 化简：=+8cot8tanππ。

答案：22[例6] 若α在第二象限，252cos2sin-=+αα，求2cos2sin αα-。

答案：23-5. 互为余角的三角函数相互转化若2πβα=+，则βαcos sin =；βαsin cos = [例7] 已知41)3sin(=+απ，则=-)6cos(απ。

答案：41[例8] 求值：=︒︒︒10cos 50sin 40sin 。

答案：21[例9] 求值：=︒︒54sin 18sin 。

答案：416. 公式的变形及活用（1）]tan tan 1)[tan(tan tan βαβαβα +=±（2）若2)tan 1)(tan 1(4=++⇔=+B A B A π[例10] 计算=︒+︒+︒+︒+)45tan 1()3tan 1)(2tan 1)(1tan 1( 。

答案：232[例11] =︒︒-︒-︒10tan 70tan 310tan 70tan 。

答案：37. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性[例12] 若2)tan(,31tan =-=αβα，则=βtan 。

答案：7[例13] 若2cos7)2cos(5=+-ββα，则=-2tan2tanαβα 。

答案：6-[例14] 在ABC ∆中，A 为最小角，C 为最大角，且8.0)2cos(-=+C A ，8.0sin =B ，求)22cos(C B +的值。

答案：6255278. 角的范围的限定由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。

[例15] 已知),0(,31cos sin πααα∈=+，求α2cos 。

答案：917-[例16] 若α是第二象限角且252cos2sin-=+αα，求2cos2sin αα-的值。

解法一：利用公式αααsin 1)2cos 2(sin2-=-然后限定角的范围。

解法二：设t=-2cos2sinαα利用平方和求t 的值，然后限定角的范围。

解法三：利用)2cos 2)(sin 2cos 2(sinαααα-+αcos -=，可回避限定角的范围。

答案：23-9. 在三角形中的有关问题︒=++180C B A ；C B A -︒=+180；222CB A -=+π结论：C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+2cos 2sinC B A =+；2sin 2cos CB A =+[例17] 已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角且2lg cos lg sin lg sin lg =--C B A ，试判断此三角形的形状。

答案：等腰三角形，B=C[例18] 在锐角三角形ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++证明：由2π>+B A 则220ππ<<-<A B故B A cos sin > 同理C B cos sin > A C cos sin > 三式相加，得证。

10. 形如ααααn2cos 8cos 4cos 2cos ⋅⋅的化简[例19] 求值：（1）︒︒72cos 36cos （2）74cos72cos 7cos πππ 答案：（1）41（2）81-11. 三角函数图像和性质的应用会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。

[例20] 求下列函数的定义域。

（1）)sin(cos lg x y = （2）x x y tan log 25.0++=答案：（1）))(22,22(Z k k k ∈+-ππππ（2）]4,[)2,0(ππ⋃[例21] 求下列函数的值域。

（1）],0[sin 2sin π∈+=x x xy（2）若x 是锐角，则x x y cos sin +=的值域。