人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word 版 含解析)一、八年级数学三角形填空题(难)1.如图,ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ,点,E F 分别在线段BD 、CD 上,点G 在EF 的延长线上,EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称,若60,84,A BEH HFG n ︒︒︒∠=∠=∠=,则n =__________.【答案】78.【解析】【分析】利用ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ,∠ACD=12(∠A+∠ABC),根据三角形的内角和得到∠D=12∠A=30︒,利用外角定理得到∠DEH=96︒,由EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48︒,根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78︒.【详解】∵ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D∴∠DBC=12∠ABC ,∠ACD=12(∠A+∠ABC), ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180︒,∠A+∠ABC+∠ACB=180︒,∴∠D=12∠A=30︒, ∵84BEH ︒∠=,∴∠DEH=96︒,∵EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称,∴∠DEG=∠HEG=48︒,∠DFG=∠HFG n ︒=,∵∠DFG=∠D+∠DEG=78︒,∴n=78.故答案为:78.【点睛】此题考查三角形的内角和定理、外角定理,角平分线性质,轴对称图形的性质,此题中求出∠D=12∠A=30︒是解题的关键.2.直角三角形中,两锐角的角平分线所夹的锐角是_____度.【答案】45【解析】【分析】根据题意画出符合条件的图形,然后根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的性质,以及三角形的外角的性质求解即可.【详解】如图所示△ACB为Rt△,AD,BE,分别是∠CAB和∠ABC的角平分线,AD,BE相交于一点F.∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD,BE,分别是∠CAB和∠ABC的角平分线,∴∠FAB+∠FBA=12∠CAB+12∠ABC=45°.故答案为45.【点睛】此题主要考查了直角三角形的两锐角互余和三角形的外角的性质,关键是根据题意画出相应的图形,利用三角形的相关性质求解.3.如图,在△ABC中,∠B=50°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=_______°.【答案】65【解析】如图,∵AE平分∠DAC,CE平分∠ACF,∴∠1=12∠DAC,∠2=12∠ACF,∴∠1+∠2=12(∠DAC+∠ACF ), 又∵∠DAC+∠ACF=(180°-∠BAC )+(180°-∠ACB )=360°-(∠BAC+∠ACB ),且 ∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°,∴∠1+∠2=12(360°-130°)=115°, ∴在△ACE 中,∠E=180°-(∠1+∠2)=180°-115°=65°.4.已知a ,b ,c 是△ABC 的三边长,a ,b 满足|a ﹣7|+(b ﹣1)2=0,c 为奇数,则c=_____.【答案】7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值,再根据三角形的任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求出c 的取值范围,再根据c 是奇数求出c 的值.【详解】∵a ,b 满足|a ﹣7|+(b ﹣1)2=0,∴a ﹣7=0,b ﹣1=0,解得a=7,b=1,∵7﹣1=6,7+1=8,∴68c <<,又∵c 为奇数,∴c=7,故答案为7.【点睛】本题考查非负数的性质:偶次方,解题的关键是明确题意,明确三角形三边的关系.5.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上,且有一个公共顶点O ,其摆放方式如图所示,则∠AOB 等于 ______ 度.【答案】108°【解析】【分析】如图,易得△OCD为等腰三角形,根据正五边形内角度数可求出∠OCD,然后求出顶角∠COD,再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可【详解】∵五边形是正五边形,∴每一个内角都是108°,∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°,∴∠COD=36°,∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108°【点睛】本题考查正多边形的内角计算,分析出△OCD是等腰三角形,然后求出顶角是关键.6.如图,∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角,若∠A=100°,则∠1+∠2+∠3+∠4= .【答案】280°【解析】试题分析:先根据邻补角的定义得出与∠EAB相邻的外角∠5的度数,再根据多边形的外角和定理即可求解.解:如图,∵∠EAB+∠5=180°,∠EAB=100°,∴∠5=80°.∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°故答案为280°.考点:多边形内角与外角.二、八年级数学三角形选择题(难)7.如图,∠ABC =∠ACB ,BD 、CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠ACP ,BE平分外角∠MBC 交 DC 的延长线于点 E ,以下结论:①∠BDE =12∠BAC ;② DB⊥BE ;③∠BDC +∠ACB= 90︒;④∠BAC + 2∠BEC = 180︒ .其中正确的结论有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、判断即可.【详解】① ∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP,∴∠ACP=2∠DCP,∠ABC=2∠DBC,又∵∠ACP=∠BAC+∠ABC,∠DCP=∠DBC+∠BDC,∴∠BAC=2∠BDE,∴∠BDE =12∠BAC∴①正确;②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC,∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°,∴EB⊥DB,故②正确,③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD,2∠DCP=∠BAC+2∠DBC,∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC,∴∠BDC=12∠BAC,∵∠BAC+2∠ACB=180°,∴12∠BAC+∠ACB=90°,∴∠BDC+∠ACB=90°,故③正确,④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC,∴∠BAC+2∠BEC=180°,故④正确,即正确的有4个,故选D【点睛】此题考查三角形的外角性质,平行线的判定与性质,三角形内角和定理,解题关键在于掌握各性质定理8.马小虎在计算一个多边形的内角和时,由于粗心少算了2个内角,其和等于830,则该多边形的边数是( )A.7B.8C.7或8D.无法确定【答案】C【解析】【分析】n边形的内角和是(n-2)•180°,即为180°的(n-2)倍,多边形的内角一定大于0度,小于180度,因而多边形中,除去2个内角外,其余内角和与180度的商加上2,以后所得的数值,比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数.【详解】设少加的2个内角和为x度,边数为n.则(n-2)×180=830+x,即(n-2)×180=4×180+110+x,因此x=70,n=7或x=250,n=8.故该多边形的边数是7或8.故选C.【点睛】本题考查了多边形的内角和定理,正确理解多边形内角的大小的特点,以及多边形的内角和定理是解决本题的关键.9.如图,已知AE 是ΔABC 的角平分线,AD 是BC 边上的高.若∠ABC=34°,∠ACB=64°,则∠DAE 的大小是( )A .5°B .13°C .15°D .20°【答案】C【解析】【分析】 由三角形的内角和定理,可求∠BAC=82°,又由AE 是∠BAC 的平分线,可求∠BAE=41°,再由AD 是BC 边上的高,可知∠ADB=90°,可求∠BAD=56°,所以∠DAE=∠BAD-∠BAE ,问题得解.【详解】在△ABC 中,∵∠ABC=34°,∠ACB=64°,∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°,∵AE 是∠BAC 的平分线,∴∠BAE=∠CAE=41°.又∵AD 是BC 边上的高,∴∠ADB=90°,∵在△ABD 中∠BAD=90°−∠B=56°,∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.【点睛】在本题中,我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角,所以利用内角和定理可以求出第三个角,再有已知条件中提到角平分线和高线,所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角,从而利用角的和差求解,在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.10.已知:如图,D 、E 、 F 分别是△ABC 的三边的延长线上一点,且AB =BF ,BC =CD ,AC =AE ,ABC S ∆=5cm 2,则DEF S ∆的值是( )A.15 cm2B.20 cm2C.30 cm2D.35 cm2【答案】D【解析】【分析】连接AD,BE,CF.根据等底同高的两个三角形面积相等,得到所有小三角形面积都等于△ABC的面积,故△DEF的面积等于7倍的△ABC面积,即可得出结果.【详解】连接AD,BE,CF.∵BC=CD,∴S△ACD=S△ABC=5,S△FCD=S△BCF.同理S△AEB=S△ABC=5,S△AED=S△ACD=5;S△AEB=S△BEF=5,S△BFC=S△ABC=5;∴S△FCD=S△BCF=5,∴S△EFD=7S△ABC=35(cm2).故选D.【点睛】本题是面积及等积变换综合题目,考查了三角形的面积及等积变换,本题有一定难度,需要通过作辅助线,运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果.11.如图,已知AB∥CD,直线AB,CD被BC所截,E点在BC上,若∠1=45°,∠2=35°,则∠3=()A.65°B.70°C.75°D.80°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠C,在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3.【详解】解:∵AB∥CD,∴∠C=∠1=45°,∵∠3是△CDE的一个外角,∴∠3=∠C+∠2=45°+35°=80°,故选:D.【点睛】本题主要考查平行线的性质,掌握平行线的性质和判定是解题的关键,即①两直线平行⇔同位角相等,②两直线平行⇔内错角相等,③两直线平行⇔同旁内角互补,④a∥b,b∥c⇒a∥c.的度数12.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则3等于()A.50°B.30°C.20°D.15°【答案】C【解析】【分析】根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3,代入数据即可求∠3.【详解】如图所示,∵AB∥CD∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°,∴∠3=∠4-30°=20°,故选C.三、八年级数学全等三角形填空题(难)13.如图,52A ∠=︒,O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点,P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点,则BOC ∠=______︒,BPC ∠=_____︒,联结AP ,则PAB ∠=______︒,点O ____(选填“在”、“不在”或“不一定在”)直线AP 上.【答案】116 64 26 在【解析】【分析】∠ABC+∠ACB=180°-∠A ,∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB ), ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB ),据此可求∠BOC 的度数; ∠BCP=12∠BCE= 12(∠A+∠ABC ),∠PBC= 12∠CBF= 12(∠A+∠ACB ),由三角形内角和定理得:∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC ,据此可求∠BPC 的度数; 作PG ⊥AB 于G ,PH ⊥AC 于H ,PK ⊥BC 于K ,利用角平分线的性质定理可证明PG=PH ,于是可证得AP 平分∠BAC ,据此可求∠PAB 的度数;同理可证OA 平分∠BAC ,故点O 在直线AP 上.【详解】解:∵O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点,∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB ) = 12(180°-∠A ) =90°-12∠A , ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB )=180°-90°+ 12∠A=90°+ 12∠A=90°+26°=116°;如图,∵BP、CP为△ABC两外角的平分线,∴∠BCP= 12∠BCE=12(∠A+∠ABC),∠PBC= 12∠CBF=12(∠A+∠ACB),由三角形内角和定理得:∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC=180°- 12[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180°- 12(∠A+180°)=90°- 12∠A=90°-26°=64°.如图,作PG⊥AB于G,PH⊥AC于H,PK⊥BC于K,连接AP,∵BP、CP为△ABC两外角的平分线,PG⊥AB,PH⊥AC,PK⊥BC,∴PG=PK,PK=PH,∴PG=PH,∴AP平分∠BAC,∴PAB∠=26°同理可证OA平分∠BAC,点O在直线AP上.故答案是:(1) 116 ;(2) 64;(3) 26;(4) 在.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理,熟知定理并正确作出辅助线是解题关键.14.如图,C为线段AE上一动点(不与A. E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°,一定成立的有________(填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】①根据全等三角形的判定方法,证出△ACD≌△BCE,即可得出AD=BE.③先证明△ACP≌△BCQ,即可判断出CP=CQ,③正确;②根据∠PCQ=60°,可得△PCQ为等边三角形,证出∠PQC=∠DCE=60°,得出PQ∥AE,②正确.④没有条件证出BO=OE,得出④错误;⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°,⑤正确;即可得出结论.【详解】解:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,结论①正确.∵△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE,又∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCD=180°-60°-60°=60°,∴∠ACP=∠BCQ=60°,在△ACP和△BCQ中,ACP BCQCAP CBQAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACP≌△BCQ(AAS),∴CP=CQ,结论③正确;又∵∠PCQ=60°,∴△PCQ为等边三角形,∴∠PQC=∠DCE=60°,∴PQ∥AE,结论②正确.∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠AEO,∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°,∴结论⑤正确.没有条件证出BO=OE,④错误;综上,可得正确的结论有4个:①②③⑤.故答案是:①②③⑤.【点睛】此题是三角形综合题目,考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定;熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.15.在数学活动课上,小明提出这样一个问题:∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CDE=55°.如图,则∠EAB的度数为_________【答案】35°【解析】【分析】过点E作EF⊥AD于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线,然后求出∠AEB,再根据直角三角形两锐角互余求解即可.【详解】过点E作EF⊥AD于F.∵DE平分∠ADC,∴CE=EF.∵E是BC的中点,∴CE=BE,∴BE=EF,∴AE是∠BAD的平分线,∴∠EAB=∠FAE.∵∠B=∠C=90°,∴∠CDA+∠DAB=180°,∴2∠CDE+2∠EAB=180°,∴∠CDE+∠EAB=90°,∴∠EAB=90°-∠CDE=90°-55°=35°.故答案为:35°.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,角平分线的判定,熟记性质并作辅助线是解题的关键.16.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°,CB=CD,AC=6,则四边形ABCD的面积是_________.【答案】18.【解析】【分析】根据已知线段关系,将△ACD绕点C逆时针旋转90°,CD与CB重合,得到△CBE,证明A、B、E三点共线,则△ACE是等腰直角三角形,四边形面积转化为△ACE面积.【详解】∵CD=CB,且∠DCB=90°,∴将△ACD绕点C逆时针旋转90°,CD与CB重合,得到△CBE,∴∠CBE=∠D,AC=EC,∠DCA=∠BCE.根据四边形内角和360°,可得∠D+∠ABC=180°,∴∠CBE+∠ABC=180°,∴A、B、E三点共线,∴△ACE是等腰直角三角形,∴四边形ABCD面积=△ACE面积= 12AC2=18.故答案为:18.【点睛】本题考查了旋转的性质以及转化思想,解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行旋转,使不规则图形转化为规则图形.17.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E.已知AB=12,则△DEB的周长为_______.【答案】12【解析】根据角平分线的性质,由AD 是∠CAB 的平分线,DE ⊥AB ,∠C=90°,可得到CD=ED ,然后根据直角三角形的全等判定HL 证得Rt △ACD ≌Rt △AED ,再由全等的性质得到AC=AE ,然后根据AC=BC ,因此可得△DEB 的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=12.故答案为:12.点睛:此题主要考查了全等三角形的性质和角平分线的性质,解题时根据全等三角形的性质和角平分线的性质得到相等的线段,然后再代还求解即可.18.把两个三角板如图甲放置,其中90ACB DEC ∠=∠=︒,45A ∠=︒,30D ∠=︒,斜边12AB =,14CD =,把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15︒得到△11D CE (如图乙),此时AB 与1CD 交于点O ,则线段1AD 的长度为_________.【答案】10【解析】试题分析:如图所示,∠3=15°,∠1E =90°, ∴∠1=∠2=75°, 又∵∠B=45°,∴∠OF 1E =∠B+∠1=45°+75°=120° ∴∠1D FO=60° ∵∠C 11D E =30°,∴∠5=∠4=90°, 又∵AC=BC ,AB=12, ∴OA=OB=6 ∵∠ACB=90°, ∴CO=12AB=6, 又∵C 1D =CD=14, ∴O 1D =C 1D -OC=14-6=8, 在Rt △A 1D O 中,222211A 6810D OA OD =+=+=点睛:本题主要考查的就是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定以及勾股定理的应用.解决这个问题的关键就是首先根据三角形外角的性质以及旋转图形的性质得出△AO 1D 为直角三角形,然后根据直角三角形的性质得出AO 和O 1D 的长度,最后根据直角三角形的勾股定理得出答案.四、八年级数学全等三角形选择题(难)19.如图所示,△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形,且PA ⊥PD ,有下列四个结论:①∠PBC =15°,②AD ∥BC ,③PC ⊥AB ,④四边形ABCD 是轴对称图形,其中正确的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D【解析】【分析】根据周角的定义先求出∠BPC 的度数,再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形,∠PBC 即可求出;根据题意:有△APD 是等腰直角三角形;△PBC 是等腰三角形;结合轴对称图形的定义与判定,可得四边形ABCD 是轴对称图形,进而可得②③④正确.【详解】根据题意,BPC 36060290150∠=-⨯-= , BP PC =,()PBC 180150215∠∴=-÷=,①正确;根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形,④正确;∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°,∴AD//BC ,②正确;∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°,∴PC ⊥AB ,③正确,所以四个命题都正确,故选D .【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等,熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.20.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出下列四个结论:①△APE≌△CPF;②AE=CF;③△EAF是等腰直角三角形;④S△ABC=2S四边形AEPF,上述结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】利用“角边角”证明△APE和△CPF全等,根据全等三角形的可得AE=CF,再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形,根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等,然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半.【详解】∵AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC的中点,∴AP⊥BC,AP=PC,∠EAP=∠C=45°,∴∠APF+∠CPF=90°,∵∠EPF是直角,∴∠APF+∠APE=90°,∴∠APE=∠CPF,在△APE和△CPF中,45APE CPFAP PCEAP C∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩====,∴△APE≌△CPF(ASA),∴AE=CF,故①②正确;∵△AEP≌△CFP,同理可证△APF≌△BPE,∴△EFP是等腰直角三角形,故③错误;∵△APE≌△CPF,∴S△APE=S△CPF,∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=12S△ABC.故④正确,故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF,从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键,也是本题的突破点.21.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB=135°;②BF=BA;③PH=PD;④连接CP,CP平分∠ACB,其中正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④【答案】D【解析】分析:根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①;根据全等三角形的判定和性质判断②③;根据角平分线的判定与性质判断④.详解:在△ABC中,∵∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC,∴∠BAD+∠ABE=(∠BAC+∠ABC)=45°,∴∠APB=135°,故①正确.∴∠BPD=45°,又∵PF⊥AD,∴∠FPB=90°+45°=135°,∴∠APB=∠FPB,又∵∠ABP=∠FBP,BP=BP,∴△ABP≌△FBP,∴∠BAP=∠BFP,AB=FB,PA=PF,故②正确.在△APH和△FPD中,∵∠APH=∠FPD=90°,∠PAH=∠BAP=∠BFP,PA=PF,∴△APH≌△FPD,∴PH=PD,故③正确.∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,∴点P到AB、AC的距离相等,点P到AB、BC的距离相等,∴点P到BC、AC的距离相等,∴点P在∠ACB的平分线上,∴CP平分∠ACB,故④正确.故选D .点睛:本题考查了角平分线的判定与性质,三角形全等的判定方法,三角形内角和定理.掌握相关性质是解题的关键.22.如图,D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =,DBC DCB ∠=∠,过D 作DE AC ⊥于E ,DF AB ⊥交BA 的延长线于F ,则下列结论:①CDE △≌BDF ;②CE AB AE =+;③BDC BAC ∠=∠;④DAF CBD ∠=∠. 其中正确的结论有( ).A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D【解析】 BD=CD,AD 是角平分线,所以FD=DE,∠DFB =∠DEC =90°,所以CDE ≌BDF ;①正确.由全等得BF=CE ,因为FA=AE,FB=AB+FA ,所以CE=AB+AE , ②正确.由全等知,∠DCE=∠FBD,所以∠BAC=∠BDC. ③正确. ∴DBF DCE ∠=∠,∴A 、B 、C 、D 四点共圆,∴DAF CBD ∠=∠,④正确.故选D.23.如图,△ABC 的两条外角平分线AP 、CP 相交于点P ,PH ⊥AC 于H ;如果∠ABC=60º,则下列结论:①∠ABP=30º;②∠APC=60º;③PB=2PH ;④∠APH=∠BPC ;其中正确的结论个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】B【解析】【分析】 作PM ⊥BC 于M ,PN ⊥BA 于N .根据角平分线的性质定理可证得PN=PM ,再根据角平分线的判定定理可得PB 平分∠ABC ,即可判定①;证明△PAN ≌△PAH ,△PCM ≌△PCH ,根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH ,∠CPM=∠CPH ,由此即可判定②;在Rt △PBN 中,∠PBN=30°,根据30°角直角三角形的性质即可判定③;由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.【详解】如图,作PM ⊥BC 于M ,PN ⊥BA 于N .∵∠PAH=∠PAN ,PN ⊥AD ,PH ⊥AC ,∴PN=PH ,同理PM=PH ,∴PN=PM ,∴PB 平分∠ABC ,∴∠ABP=12∠ABC=30°,故①正确, ∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中, PA PA PN PH =⎧⎨=⎩, ∴△PAN ≌△PAH ,同理可证,△PCM ≌△PCH ,∴∠APN=∠APH ,∠CPM=∠CPH ,∵∠MPN=180°-∠ABC=120°,∴∠APC=12∠MPN=60°,故②正确, 在Rt △PBN 中,∵∠PBN=30°, ∴PB=2PN=2PH ,故③正确,∵∠BPN=∠CPA=60°,∴∠CPB=∠APN=∠APH,故④正确.综上,正确的结论为①②③④.故选D.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质,熟练运用相关知识是解决问题的关键.24.如图,AC⊥BE于点C,DF⊥BE于点F,且BC=EF,如果添上一个条件后,可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF,则这个条件应该是()A.AC=DE B.AB=DE C.∠B=∠E D.∠D=∠A【答案】B【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中,直角边BC=EF,要利用“HL”判定全等,只需添加条件斜边AB=DE.故选:B.五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)∥,25.如图所示,ABC为等边三角形,P是ABC内任一点,PD AB,PE BC++=____cm.∥,若ABC的周长为12cm,则PD PE PFPF AC【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP是平行四边形,△AHE和△AHE是等边三角形,然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可.【详解】∥解:∵PD AB,PE BC∴四边形HBDP是平行四边形∴PD=HB∵ABC 为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∵PE BC ∥∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE 是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE 是等边三角形,∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm .【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质,掌握等边三角形的性质是解答本题的关键.26.如图,在ABC ∆中,ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ,过点O 作//EF BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论:①EF BE CF =+;②点O 到ABC ∆各边的距离相等;③1902BOC A ∠=+∠;④设OD m =,AE AF n +=,则AEF S mn ∆=;⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________.【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,根据角平分线的定义与三角形内角和定理,即可求得③∠BOC =90°+12∠A 正确;由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确;由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等,故②正确;由角平分线定理与三角形面积的求解方法,即可求得④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=12mn,故④错误,根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD,同理可证BM=BN,CD=CN,变形即可得到⑤正确.【详解】∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A;故③正确;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF.∵EF∥BC,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,故①正确;过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA.∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM=m,∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•(AE+AF)=12mn;故④错误;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴点O到△ABC各边的距离相等,故②正确;∵AO=AO,MO=DO,∴△AMO≌△ADO(HL),∴AM=AD;同理可证:BM=BN,CD=CN.∵AM+BM=AB,AD+CD=AC,BN+CN=BC,∴AD=12(AB+AC﹣BC)故⑤正确.故答案为:①②③⑤.【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质,等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.27.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC上一点,DA⊥AC,AD=24 cm,则BC的长________cm.【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解:∵AB=AC ,∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA ⊥AC ,AD=24 cm∴DC=2AD=48cm ,∵∠BAC=120°,DA ⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴∠B=∠BAD∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质,其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.28.已知如图,每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上,123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上,且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________【答案】()8,0-【解析】【分析】根据相邻的两个三角形有一个公共点,列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形,关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.【详解】解:设到第n 个三角形顶点的个数为y则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,∴OA 19=9-1=8,∴19A 的坐标为()8,0-故答案是()8,0-【点睛】本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系,判断出点A 19所在的三角形是解题关键29.如图,ABC ∆中,AB AC =,点D 是ABC ∆内部一点,DB DC =,点E 是边AB 上一点,若CD 平分ACE ∠,100AEC =∠,则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ,再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB -2∠ACD ,然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°,代换化简得出∠ACB -∠ACD=50°,即∠DCB=50°,从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD平分∠ACE,∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD,∴∠ECB=∠ACB-∠ACE=∠ACB-2∠ACD,∵∠AEC=100°,∴∠ABC+∠ECB=100°,∴∠ABC+∠ACB-2∠ACD=100°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB-2∠ACD=100°,∴∠ACB-∠ACD=50°,即∠DCB=50°,∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB,∴∠BDC=180°-2∠DCB=180°-2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线,三角形内角和,外角定理,及等边对等角的性质等知识,熟练掌握基本知识,找出角与角之间的关系是解题的关键.30.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是AB的中点,F是AC上一个动点,则EF+BF的最小值是________ .【答案】33【解析】试题解析:∵在菱形ABCD中,AC与BD互相垂直平分,∴点B、D关于AC对称,连接ED,则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段,∵E为AB的中点,∠DAB=60°,∴DE⊥AB,∴22-22AD AE63-3∴EF+BF的最小值为3.六、八年级数学轴对称三角形选择题(难) 31.已知点M(2,2),且OM=22,在坐标轴上求作一点P ,使△OMP 为等腰三角形,则点P 的坐标不可能是( )A .(22,0)B .(0,4)C .(4,0)D .(0,82) 【答案】D【解析】【分析】分类讨论:OM=OP ;MO=MP ;PM=PO ,分别计算出相应的P 点,从而得出答案.【详解】∵M(2,2),且OM=22,且点P 在坐标轴上当22OM OP == 时P 点坐标为:()()22,0,0,22±± ,A 满足;当22MO MP ==时:P 点坐标为:()()4,0,0,4,B 满足;当PM PO =时:P 点坐标为:()()2,0,0,2,C 满足故答案选:D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形,利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键.32.如图,坐标平面内一点A(2,-1),O 为原点,P 是x 轴上的一个动点,如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P 的个数为( )A .2B .3C .4D .5【答案】C【解析】 以O 点为圆心,OA 为半径作圆与x 轴有两交点,这两点显然符合题意.以A 点为圆心,OA 为半径作圆与x 轴交与两点(O 点除外).以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点.共4个点符合,33.如图,120AOB ∠=︒,OP 平分AOB ∠,且2OP =,若点M N 、分别在OA OB 、上,且PMN ∆为等边三角形,则满足上述条件的PMN ∆有( )A .1个B .2个C .3个D .无数个【答案】D【解析】【分析】 根据题意在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ,作∠MPN=60°,只要证明△PEM ≌△PON 即可反推出△PMN 是等边三角形满足条件,以此进行分析即可得出结论.【详解】解:如图在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ,作∠MPN=60°.∵OP 平分∠AOB ,120AOB ∠=︒,∴∠EOP=∠POF=60°,∵OE=OF=OP ,∴△OPE ,△OPF 是等边三角形,∴EP=OP ,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN ,在△PEM 和△PON 中,PEM PON PE POEPM OPN ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨=== ∴△PEM ≌△PON (ASA ).∴PM=PN ,∵∠MPN=60°,∴△PNM 是等边三角形,∴只要∠MPN=60°,△PMN 就是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故选:D .【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识,解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.34.在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,点D E 、是AB 边上两点,且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=,则BD 的长为( )A .6cmB .7cmC .8cmD .9cm【答案】A【解析】【分析】 根据CE 垂直平分AD ,得AC=CD ,再根据等腰在三角形的三线合一,得ACE ECD ∠=∠,结合角平分线定义和90ACB ︒∠=,得30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=,则BD CD AC ==.【详解】∵CE 垂直平分AD∴AC=CD =6cm ,ACE ECD ∠=∠∵CD 平分BCE ∠∴BCD ECD ∠=∠∴30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=∴60A ︒∠=∴30B BCD ︒∠==∠∴6CD BD AC cm ===故选:A【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”,熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键.35.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=6,∠BAC=120°,点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点,则CQ+PQ 的最小值为( )A .6B .7.5C .9D .12【答案】C【解析】【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点,利用点到直线的距离垂线段最短,即可求解.【详解】解:如图,作点C 关于直线AB 的对称点1C ,1CC 交射线BA 于H ,过点1C 作BC 的垂线,垂足为P ,与AB 交于点Q ,CQ+PQ 的长即为1PC 的长.∵AB=AC=6,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,易得BC=3在Rt △BHC 中,∠ABC=30°,∴HC=33BCH=60°, ∴163CC =在1Rt △PCC 中,1PCC ∠=60°,∴19PC =∴CQ+PQ 的最小值为9,故选:C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题,认真审题作出辅助线是解题的关键.36.如图所示,在四边ABCD 中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,若在BC 和CD 上分别找一点M ,使得△AMN 的周长最小,则此时∠AMN+∠ANM 的度数为( )A.110°B.120°C.140°D.150°【答案】B【解析】【分析】根据要使△AMN的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出A关于BC和CD的对称点A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=60°,进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案.【详解】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值.∵∠DAB=120°,∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°,∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°,故选B.【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法,以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用,根据轴对称的性质,得出M,N的位置是解题的关键.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题(难)37.已知a与b互为相反数且都不为零,n为正整数,则下列两数互为相反数的是( ) A.a2n-1与-b2n-1 B.a2n-1与b2n-1 C.a2n与b2n D.a n与b n【答案】B【解析】已知a与b互为相反数且都不为零,可得a、b的同奇次幂互为相反数,同偶次幂。