典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验周前猛一、选择题1．已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值–1，则a与b之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D不能确定答案：C2．当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A、- 74B、3或-3C、2或-3D2或-3或-74答案：C∵当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m= - 74，2765y x416⎛⎫=-++⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l的最大值是6516，与题意不符.当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符.当x= m时，由4=-（x-m）2+m2+1解得m=3m=3y=-（x+3）2+4.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；当3，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m的值为2或-3.故选C．3．已知0≤x≤12，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（）A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为 时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x ，则，另一边长为8-x ；设其面积为S.∴S= x ·(8-x)(0<x<8). 配方得 S=- (x 2-8x)=- (x-4)2+8 ∴当x=4时，S 最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.3、函数2y=24x-x （0x 4）-≤≤的最大值与最小值分别是答案：2,0解：24x-x 最小值为0，当4x-x 224x-x 最大，即x=2时，24x-x 最大为4，所以，当x=0时，y 最大值为2，当x=2时，y 取最小值为04、已知二次函数y=x 2+2x+a （0≤x ≤1）的最大值是3，那么a 的值为 答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0φx ，∴2.00≤x π而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x π， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。

若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。

2、如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣h）2+k∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）∴y=a（x﹣4）2+k，=16a+k①又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6∴A（1，0），B（7，0）∴0=9a+k②由①②解得a=，k=﹣∴二次函数的解析式为：y=（x﹣4）2﹣（2）∵点A、B关于直线x=4对称∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD≥DB∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值∴DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点M∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO∴∴∴点P的坐标为（4，）（3）由（1）知点C（4，），又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60°，∵AC=BC，∴∠ACB=120°①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q（10，），如果AB=AQ，由对称性知Q（﹣2，）②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是（4，），经检验，点（10，）与（﹣2，）都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC点Q的坐标为（10，）或（﹣2，）或（4，）．3、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C-，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为；（2）存在，如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为，当1＜m＜4时，AM=4-m ，，∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当时，△APM∽△ACO，即4-m=2 ，解得m1=2，m2=4（舍去），∴P（2，1）；②当时，△APM∽△CAO，即，解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去），∴当1＜m＜4时，P（2，1），类似地可求出当m>4时，P（5，-2），当m<1时，P（-3，-14），综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D 点的纵坐标为，过D作y 轴的平行线交AC于E，由题意可求得直线AC 的解析式为，∴E 点的坐标为，∴∴∴当t=2时，△DAC的面积最大，∴D（2，1）。

4如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，△AGE与△CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．5．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．(1)求证：MN∥AB；(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．（1）由题中条件可得△ACE ≌△DCB ，进而得出△ACM ≌△DCN ，即CM=CN ，△MCN 是等边三角形，即可得出结论；（2）可先假设其存在，设AC=x ，MN=y ，进而由平行线分线段成比例即可得出结论． 解答（1）证明：∵△ACD 与△BCE 是等边三角形， ∴AC=CD ，CE=BC ， ∴∠ACE=∠BCD ， 在△ACE 与△DCB 中， ∵AC=CD ∠ACE=∠BCD CE=BC∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴∠CAE=∠BDC ， 在△ACM 与△DCN 中， ∵∠CAE=∠BDC AC=CD∠ACM=∠DCN∴△ACM ≌△DCN ， ∴CM=CN ，又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°， ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC=∠NCB=60° 即MN ∥AB ；（2）解：假设符合条件的点C 存在，设AC=x ，MN=y ，6、如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC , ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.（1）．用x 表示∆ADE 的面积; （2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）．求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式； （4）．当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？解:(1) ∵ DE ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C∴△ADE ∽△ABC ∴2)(BC DE S S ABC ADE =∆∆ 即241x S ADE =∆ (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5∴当0﹤5≤x 时241x S y ADE ==∆ （3）x ≤5﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形∵S △A'DE =S △ADE =241x∴DE 边上的高AH=AH'=x 21由已知求得AF=5∴A'F=AA'-AF=x-5由△A'MN ∽△A'DE 知2DE A'MN A')H A'F A'(=∆∆S S 2MN A')5(-=∆x S ∴251043)5(41222-+-=--=x x x x y（4）在函数241x y =中 ∵0﹤x ≤5 ∴当x=5时y 最大为：425在函数2510432-+-=x x y 中当3202=-=a b x 时y 最大为：325 ∵425﹤325∴当320=x 时，y 最大为：325 CB A7、如图，抛物线2212-+=bx x y 与x 轴交于A 、B 两点，与Y 轴交于C 点， 且A （－1，0）。