第四章二 次 型练习4、11、写出下列二次型的矩阵（1）),,(321x x x f =32312221242x x x x x x -+-；（2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。

解：（1）因为),,(321x x x f =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---012110202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---012110202。

（2）因为),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********1110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********1110。

2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2221202121211； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121210210211212112101210。

解：（1）设T321),,(x x x X =，则),,(321x x x f =X TAX =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2221202121211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x =323121232142x x x x x x x x -+-+。

（2）设T4321),,,(x x x x X =，则),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121210210211************⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x=434232312124222x x x x x x x x x x x x +++-++-。

练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。

（1）),,(321x x x f =32212221442x x x x x x --+；（2）),,(321x x x f =322122x x x x -；（3）),,(321x x x f =32212322214432x x x x x x x --++。

解：（1）二次型),,(321x x x f 的矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----020212022。

A 的特征方程为)det(A E -λ=λλλ20212022--=)45)(2(2+-+λλλ=0，由此得到A 的特征值21-=λ，12=λ，43=λ。

对于21-=λ，求其线性方程组0)2(=--X A E ，可解得基础解系为T1)2,2,1(=α。

对于12=λ，求其线性方程组0)(=-X A E ，可解得基础解系为： T2)2,1,2(-=α。

对于43=λ，求其线性方程组0)4(=-X A E ，可解得基础解系为：T3)1,2,2(-=α。

将321,,ααα单位化，得 T 111)32,32,31(1==ααγ，T 222)32,31,32(1-==ααγ， T 333)31,32,32(1-==ααγ，令P =),,(321γγγ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--313232323132323231，则 P TAP =diag(-2,1,4)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400010002。

作正交替换X=PY ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-+=++=321332123211313232323132323231y y y x y y y x y y y x ，二次型),,(321x x x f 可化为标准形：23222142y y y ++-。

（2）类似题（1）方法可得：P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---21212121210212121，P T AP =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-20020000， 即得标准形：232222y y -。

（3）类似题（1）的方法可得：P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---313232323231323132， P TAP =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100050002， 即得标准形：23222152y y y -+。

2、用配方法将下列二次型化为标准形：（1）),,(321x x x f =32312123222162252x x x x x x x x x +++++；（2）),,(321x x x f =312142x x x x +；（3）),,(321x x x f =323121224x x x x x x ++-。

解：（1）先将含有1x 的项配方。

),,(321x x x f =21x +)(2321x x x ++232)(x x +－232)(x x ++222x +326x x +235x =2321)(x x x +++22x +324x x +234x ，再对后三项中含有2x 的项配方，则有),,(321x x x f =2321)(x x x +++22x +324x x +234x =2321)(x x x +++232)2(x x +。

设Y =T 321),,(y y y ，X =T321),,(x x x ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000210111，令Y=BX ，则可将原二次型化为标准形2221y y +。

（2）此二次型没有平方项，只有混合项。

因此先作变换，使其有平方项，然后按题（1）的方法进行配方。

令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 。

则原二次型化为),,(321x x x f =))((22121y y y y -++321)(4y y y +=212y －222y +314y y +324y y=231)(2y y +－232)(2y y -，设Y =T 321),,(y y y ，Z =T321),,(z z z ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000110101，令Z=BY ，则可将原二次型化为标准形222122z z -。

（3）类似题（2）的方法，可将原二次型化为标准形：23222144z z z ++-。

3、用初等变换法将下列二次型化为标准形：（1）),,(321x x x f =32212322214242x x x x x x x ++++； （2）),,(321x x x f =3231212322216223x x x x x x x x x ++-+-；（3）),,(321x x x f =323121624x x x x x x ++。

（此题与课本貌似而已，注意哈） 解：（1）二次型),,(321x x x f 的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛420221011。

于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001420221011−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001420210011−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010011420210001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210211000010001。

令C =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100210211，作可逆线性变换X=CY ，原二次型可化为标准形：),,(321x x x f =2221y y +。

（2）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：),,(321x x x f = 2322214y y y +-。

（3）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：),,(321x x x f = 2322216212y y y --。

4、已知二次型),,(321x x x f =32312123222166255x x x x x x cx x x -+-++的秩为2。

求参数c 的值，并将此二次型化为标准形。

解：二次型),,(321x x x f 的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----c 33351315。

因为A 的秩为2，令det A =0，可得c =3。

即 ),,(321x x x f =323121232221662355x x x x x x x x x -+-++也就是A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----333351315，通过初等变换法，即可将其化为标准形：232294y y +。

5、设2n 元二次型),,,(221n x x x f Λ=112221+-+++n n n n x x x x x x Λ 试用可逆线性替换法将其化为标准形。

解：令⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=+=+=+=---++-n n n n n n n n n n n n yy x y y x y y x y y x yy x y y x 212122121111222211ΛΛ， P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10010110111101101001ΛΛO N M M M M NOΛΛ， 即作正交变换X=CY ，二次型),,,(221n x x x f Λ可化为标准型：2221221n n n y y y y ---+++ΛΛ。

6、已知二次型),,(321x x x f =322322212332x ax x x x +++(a>0)通过正交变换化为标准型23222152y y y f ++=，求a 的值及所作的正交替换矩阵。

解：因为原二次型可化为23222152y y y f ++=，可知原二次型的矩阵的特征值为1，2和5。

而原二次型的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3030002a a 。

故A 的特征方程为)det(A E -λ=330002---λλλaa=)96)(2(22a -+--λλλ=0。

因此将此特征方程的解1，2，5代入得：a=2。

对于11=λ，求其线性方程组0)(=-X A E ，可解得基础解系为T 1)1,1,0(=α。

对于22=λ，求其线性方程组0)2(=-X A E ，可解得基础解系为： T2)0,0,1(=α。

对于53=λ，求其线性方程组0)5(=-X A E ，可解得基础解系为：T3)1,1,0(-=α。

将321,,ααα单位化，得 T 111)21,21,0(1==ααγ，T 222)0,0,1(1==ααγ，T 333)21,21,0(1-==ααγ，故正交替换矩阵为：P =),,(321γγγ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2102121021010。

练习4、31、判别下列二次型是否为正定二次型：（1）),,(321x x x f =322123222144465x x x x x x x --++；（2）),,(321x x x f =32312123222128248210x x x x x x x x x -++++； （3）),,,(4321x x x x f =+-+++++3241312423222144674x x x x x x x x x x434242x x x x +。