1习题4.1（线性方程组解的结构）一、下列齐次线性方程组是否有非零解？分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ⇔=⇔<；仅有零解0()A R A n ⇔≠⇔=（1）123412341234123442020372031260x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎪⎨++-=⎪⎪--+=⎩ ；解：11421112317213126A ----=---213241311420054045402168r r r r r r ---=-------21054054544544004016821682168r r -=---=-=-≠--------仅有零解。

（2）12451234123453020426340x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎨⎪-++-=⎩ .分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ⇔≤；仅有零解()R A n ⇔= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。

二、求齐次线性方程组12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的一个基础解系。

解：322112314123512110121101201036130004000010051015000400000r r r r r r r r r A --------=--→-→--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以原方程组等价于1243200x x x x +-=⎧⎨=⎩（24,x x 可取任意实数）原方程组的通解为1122134220x k k x k xx k =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,k k R ∈）2改写为11221211123422222101000000001x k k k k x k k x k k x x k k -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k R ∈）因此齐次线性方程组的基础解系为1221100001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且()12345Tη=，()231234Tηη=+, 求该方程组的通解。

解：由于矩阵的秩为3，n -r =4-3=1，故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量， 且由于321,,ηηη均为非齐次线性方程组的解，由解的性质得123121232()()()4()()56ηηηηηηη⎛⎫ ⎪-+=-+-= ⎪ ⎪+= ⎪⎝⎭齐次解齐次解齐次解，为齐次线性方程组的基础解系，故此非齐次线性方程组的通解：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=54326543k x ，)(R k ∈四、设123ααα，，是方程组A X =0的一个基础解系，证明：向量组123123αααααα++-，，也是A x =0的一个基础解系.解：123ααα，，是方程组A X =0的一个基础解系，所以A x =0的任意三个线性无关解向量的都是它的基础解系；且123ααα，，是方程组A X =0的线性无关解向量组。

由齐次线性方程组的解的性质得123123αααααα++-，，也是A x =0的解。

3设1123123βαααβααβα=++-23==得1111102001C =-=-≠，由（P64）定理8知123123αααααα++-，，线性无关。

因此，向量组123123αααααα++-，，也是A x =0的一个基础解系。

五、设*η是非齐次线性方程组A x=b (b ≠0)的一个解，ξ1，…，ξn -r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系（r R (A )=），证明：（1）*η，ξ1，…，ξn -r 线性无关；（2）*η,ηξ*1+，…，ηξ*n -r +线性无关.证明 (1)反证法,假设1,,,n r ηξξ*- 线性相关,则存在着不全为0的数01,,,n r c c c - 使得下式成立: 0110n r n r C C C ηξξ*--+++= (1)其中,00c ≠否则,1,,n r ξξ- 线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。

由于η*为特解，1,,n r ξξ- 为基础解系，故得b C A C C C C A r n r n 00110)(==+++*--*ηξξη 而由(1)式可得011()0n r n r A C C C ηξξ*--+++= 故0b =，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得0b = 产生矛盾,假设不成立, 故1,,,n r ηξξ*- 线性无关. (2)反证法,假使1,,,n r ηηξηξ***-++ 线性相关. 则存在着不全为零的数01,,,n r c c c - 使得下式成立:011()()0n r n r c c c ηηξηξ***--+++++= （2）即0111()0n r n r n r c c c c c ηξξ*---++++++=1) 若010n r c c c -+++= ,由于1,,n r ξξ- 是线性无关的一组基础解系,2) 故010n r c c c -==== ,由(2)式得00c =此时010n r c c c -==== 与假设矛盾.43) 若010n r c c c -+++≠ 由题(1)知, 1,,,n r ηξξ*- 线性无关,故01120n r n r c c c c c c --+++===== 与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.5习题4.2（用初等变换解线性方程组解）一、求齐次线性方程组123412341234523053602420x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的基础解系.解：21123128321252145152301523015230197120(,0)5361002841400117120011712024210014270014270000000r r r r r r r r r A ---+-------=-→-→-→---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以原方程组等价于134234910721172x x x x x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩（34,x x 可取任意实数） 原方程组的通解为112212314291721172xk k x k k x k x k ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪=⎪⎩（12,k k R ∈）即12917211720110x k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12,k k R ∈）2121122121311422919172721111(727200kk k kx x k k k kx k k x k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪==+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭) 因此齐次线性方程组的基础解系为129107211721001ξξ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，二、求下列非齐次线性方程组123412341234124562345x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的通解。

解：32211231312211111111111053273(,)21456032340123143123450323400r r r r r r r r r A b ---+--=→→⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦6所以原方程组等价于134234572332433x x x x x x ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩（34,x x 可取任意实数）原方程组的通解为1122123142572332433xk k x k k x k x k ⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪=⎪=⎪⎩，即125723324133010100x k k ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k R ∈）。

111221213114221111033332424(33330000k k x x k k k k x k k x kk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪---+-⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭) 三、写出一个以x 1222341001C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦为通解的齐次线性方程组.解：11213413421223412313123442422222220343434022341001x c c x x x x x x x c c x x x x c x c x x x x c x c x C C -=--+=-+=-+=+-==-⎛⎫⎛⎫⎧⎡⎤⎡⎤⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥-⎧⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥=+⇒=⇒⇒⎨⎨⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎩⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎩四、确定a 、b 的值使下列线性方程组有解，并求其通解.（1）12312321231a x x x x a x x a x x a x a⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩；分析：设A 为n m ⨯矩阵，则n 元非齐次线性方程组b Ax =无解([,])()R A b R A ⇔≠. 定理4. n 元非齐次线性方程组b Ax =有无穷多个解的充分必要条件为]),([b A R = n A R <)(. 推论：n 元非齐次线性方程组b Ax =有唯一解充的分必要条件为]),([b A R =)(A R =n .解法一： 3121312222231111111(,)1111011111110111r r r r r a r a a a a aA b a a a a a a a a aa a aaa ↔--→→⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦73222222321111011011(1)00210(1)(2)(1)(1)r r a aa aa a a a a a a a a aa a a a a a a +→⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+---+-+⎣⎦⎣⎦(1) 当 a ≠1, -2 时，R (A ) = R (A ，b )=3，方程组有唯一解. (2) 当 a = -2 时，R (A ) =2≠3= R (A ，b )，方程组无解. (3) 当 a = 1时，R (A ) =R (A ，b )=1<3，方程组有无穷多解.此时，213111111111(,)111100001111000r r r r A b --→⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1231x x x ⇒++= 原方程组的通解为11241321x k k x k x k =--+⎧⎪=⎨⎪=⎩，即12111100010x k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k R ∈）。