习题11-21.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0LP x y x =⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明：(,)d (,0)d bLaP x y x P x x =⎰⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d bLaP x y x P x x =⎰⎰3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）22()d Lxy x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周()222x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（3）d d Ly x x y +⎰,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π2的一段弧； （4）22()d ()d Lx y x x y y x y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）； （5）2d d d x x z y y z +-⎰Γ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0到π的一段弧；（6） 322d 3d ()d x x zy y xy z ++-⎰Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线；（7）d d d x y y z -+⎰Γ,其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里AB C 、、依次为点1,0,0（）、010（，，）、(001)，，；（8）22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx ya t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π220π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415L x xy x y xy yx x x x x x x xxx x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰4. 计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 分别是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； （4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由(,0)a 沿椭圆移动到0,Bb （）,求力所做的功. 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6. 计算对坐标的曲线积分：（1）d xyz z ⎰Γ,Γ为2221x y z ++=与z y =相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ卦限；（2）222222(-)d ()d ()d y z x z x y x y z +-+-⎰Γ,Γ为2221x y z ++=在第Ⅰ卦限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分. 方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π2π222π22π222d cos sin sin cos d2sin cos d2sin2d21cos4d22πxyz z t t t t tt t tt tttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cossinx ty tz=⎧⎪=⎨⎪=⎩t：0→π2，故()()()()()1222222π222π332π32d d dsin sin cos cos dsin cos d2sin d24233y z x z x y x y zt t t t tt t tt tΓ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d3d d d4334y z x z x y x y zy z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰习题11-31. 应用格林公式计算下列积分：（1）(24)d (356)d Lx y x x y y -+++-⎰,其中L 为三顶点分别为()()0,0,3,0和(32)，的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin e )d (sin 2e )d x x Lx y x xy x y x x x y y +-+-⎰,其中L 为正向星形线222333x y a +=0a >（）；（3）3222(2cos )d (12sin 3)d Lxy y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22πx y =上由点0,0（）到点π,12⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧； （4）22()d (sin )d Lxy x x y y --+⎰,其中L 是圆周22y x x =-上由点0,0（）到()1,1的一段弧；（5）(e sin )d (e cos )d x x Ly my x y m y -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(),0a 到0,0（）经过圆22x y ax +=上半部分的路线（a 为正数）.图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ， 则2cos 2sin 2e x Px x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e x Qx x x x y x∂=+-∂．从而P Qy x∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d dcos2sin e sin2ed d++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x xLDx yx y x xy x y x x yQ Px yx y(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cos x，Q=1-2y sin x+3x2y2262cosPxy y xy∂=-∂，262cosQxy y xx∂=-∂由格林公式有：d d d d0L OA AB DQ PP x Q y x yx y-++∂∂⎛⎫-+==⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π2122001222d d d dd d d dππd d12sin3243d12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅⎪⎝⎭⎛⎫=-+⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L OA ABOA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy yyy y(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO DQ PP x Q y x yx y而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x，即，0∂∂-=∂∂Q P x y 于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LLBA OB P x Q y x yx y x y x y x yx y x y x y x y y x x y x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x P y m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m a P x Q y P x Q y m a xm m m a xm a2. 设a 为正常数，利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1） 星形线 33cos ,sin ;x a t y a t == （2） 双纽线 22cos2;r a θ= （3） 圆 22x y ax ++=解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ． 于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y xa a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 3. 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： （1）(1,1)(0,0)()(d d )x y x y --⎰；（2）(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰；（3）(1,2)2(1,1)d d y x x yx +⎰沿在右半平面的路径； （4）(6,8)(1,0)⎰.证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y∂=-∂，2123Qxy y x∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xyy x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Qy x∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q ，且P Qy x∂∂==∂∂分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,0801529x y =+⎡=+⎣=⎰⎰⎰4．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个函数(),u x y :（1）()()2d 2d x y x x y y +++；（2）22d d xy x x y +;（3）223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++（）（）； （4）222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-（）（）. 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Qx xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyyy y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂， 有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数。