2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

主要考第二个重要极限。

例5：求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X1+，最后凑指数部分。

【解】2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→xx a x a x ，求a 。

5．用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x-,()abx ax x x b~11,21~cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。

例7：求极限0ln(1)lim1cos x x x x →+=-【解】 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-.例8：求极限xxx x 30tan sin lim -→【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 6．用洛必达法则求极限例9：求极限220)sin 1ln(2cos ln lim xx x x +-→ 【说明】∞∞或0型的极限,可通过罗必塔法则来求。

【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→xx xx x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+--=→ 3sin 112cos 222sin lim20-=⎪⎭⎫⎝⎛+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x【解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxu t x du u f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xxxx x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 00)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=⎰⎰+→x xx x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f xxx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f7．用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限例11：极限xx x 2)]1ln(1[lim ++→【解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim00e eex x x x x x ==+++→→【注】对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -因为===-+)1)(1ln()(lim ))(ln()(lim )()(lim x f x g x f x g x g e e x f )()1)(lim(x g x f e -例12：求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解1】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭= 20ln 2cos ln 3lim x x x →+-=（）01sin 2cos lim 2x x x x →⋅-+=（）011sin 1lim 22cos 6x x x x →=-⋅=-+【解2】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭= 2cos 1ln 3limx x x →-+=（1）20cos 11lim 36x x x →-==- 8．利用Taylor 公式求极限例13 求极限 ) 0 ( ,2lim 20>-+-→a xa a x x x . 【解】 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x ο+++==,) (ln 2ln 1222x a x a x axο++-=-;). (ln 2222x a x aa xxο+=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ο. 例14 求极限011lim (cot )x x x x→-. 【解】 00111sin cos lim (cot )lim sin x x x x x x x x x x x→→--= 323230()[1()]3!2!lim x x x x x x x xοο→-+--+= 333011()()12!3!lim 3x x x x ο→-+==.9．数列极限转化成函数极限求解例15：极限21sin lim n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→【说明】这是∞1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

【解】考虑辅助极限611sin 11011sin 222lim lim 1sin lim -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→===⎪⎭⎫ ⎝⎛+e eex x y y y y x x x x x x所以，6121sin lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛e n n n n10．n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.例16：极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n Λ 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成［0,1］定积分。

⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→10)(211limdx x f n n f n f n f n n Λ 【解】原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→222112111111lim n n n n n n Λ 1212ln2111102+--=+=⎰dx x例17：极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim Λ 【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛∞→n n f n f n f n n Λ211lim 的形式，因而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim Λ 因为11211122222+≤++++++≤+n n nn n n nn n Λ又 nn nn +∞→2lim11lim2=+=∞→n n n所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim Λ＝１ 11．单调有界数列的极限问题例18：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==L （Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=L ，则数列{}n x 有界. 于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 61sin 01sin 110032221lim lim sin 1lim --→⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→===⎪⎭⎫ ⎝⎛+++eee x x xx x x x x x x xx(使用了洛必达法则)故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.二、常见不定积分的求解方法的讨论0. 引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。