专题09 二次根式的概念与性质阅读与思考0)a≥叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：1≥a、a2一样都是非负数．2．2＝a（a≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．3()()a aaa a≥⎧⎪==⎨-≤⎪⎩揭示了与绝对值的内在一致性．4a b=（a≥0，b≥0）．5=（a≥0，b＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．6．若a＞b＞0＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．运用二次根式性质解题应注意：（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．例题与求解【例1】设x，y都是有理数，且满足方程11402332x yπππ⎛⎫⎛⎫+++--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么x y-的值是____________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．【例2】当1≤x≤2___________．解题思路：a≥0的隐含制约．【例3】若a＞0，b＞0=+的值．（天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求a，b的值或探求a，b的关系．【例4】若实数x，y，m满足关系式：199y x=--m的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（x－199＋y）与（199－x－y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．【例5】已知152a b c+-=-，求a＋b＋c的值．（山东省竞赛试题）解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABC中，AB，BC，AC学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC，（a＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．（3）若△ABC（m＞0，n＞0，且m≠n）试运用构图法求出这个三角形的面积．（咸宁市中考试题）解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．能力训练A 级1有意义．则x 的取值范围是_____________．（“希望杯”邀请赛试题）2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答． 已知a解：原式＝(11aa a a-=- 3．已知正数a ，b ，有下列命题：（1）若a ＝1，b ＝1≤1；（2）若a＝12，b ＝52≤32；（3）若a ＝2，b ＝3≤52；（4）若a ＝1，b ＝5≤3．根据以上命题所提供的信息，请猜想：若a ＝6，b ＝7≤________．（黄冈市竞赛试题）4．已知实数a ，b ，c 满足211024a b c c --+=，则a （b ＋c ）的值为_______．图2图15的最小值是（）．A．0 B．1C．1 D．不存在6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）．A B．3和3C D（“希望杯”邀请赛试题）72的结果是（）．A．6x－6 B．－6x＋6 C．－4 D．4（江苏省竞赛试题）8．设a是一个无理数，且a，b满足a b－a－b＋l＝0，则b是一个（）．A．小于0的有理数B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数（武汉市竞赛试题）9=，其中ab≠0（山东省中考试颗）10．已知66a，b，求ab的值．（浙江省竞赛试题）11．设a，b，c为两两不等的有理数．（北京市竞赛试题）12．设x，y y=，求y的最大值．（上海市竞赛试题）B级1．已知x，y为实数，y＝13x-，则5x＋6y＝_________．2．已知实数a满足1999a a-=，则a－19992＝___________．3．正数m，n满足m＋－－＋4n＝3_______．（北京市竞赛试题）4．若a，b满足5b＝7，则s=3b的取值范围是________．（全国初中数学联赛试题）5．已知整数x，y＋50，那么整数对（x，y）的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3（江苏省竞赛试题）6．已知1aa-＝1，那么代数式1aa+的值为（）A B C D．（重庆市中考试题）7=x，y，a是两两不同的实数．则代数式22223x xy yx xy y+--+的值为（）．A．3 B．13C．2 D．5382=）．A．3 B．4 C．5 D．69．设a，b，c是实数，若a＋b＋c＝＋14，求()()()a b c b c a c a b+++++的值．（北京市竞赛试题）10．已知ax3＝by3＝cz3，1x＋1y＋1z＝1=11．已知在等式ax bscx d+=+中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数．求：（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数，（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．（“希望杯”邀请赛试题）12．设s⋅⋅⋅，求不超过s的最大整数[s]．13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；（2）请问点C满足什么条件是AC＋CE的值最小？（3）根据（2（恩施自治州中考试题）专题09 二次根式的概念与性质40111123118:(x+y - 4)+(1)=0 23321032x yx y x yπ⎧+-=⎪⎪+-⎨⎪+-=⎪⎩例提示得)211,12,110,11=2x =≤≤><∴-例原式原式32:2150=0,0,025b a b a b=-=>>=例提示得即因得19901994:19919901990,352=020123=0x y x y x y x y x y x y m m x y m -+≥+≥⎧⎧∴+=⎨⎨--≥+≤⎩⎩=+--⎧=⎨+-⎩例提示由二次根式定义得即由非负数及其性质得解得))22211)2302:++=例520提示将等式整理配方得()(2376133132224.11(),S 24222221432ABCABCSa a ABC a a a a a a aa a a =⨯---==⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=例和的直角三角形的斜边如图所示位置不唯一(3)构造△ABC 如图b 所示，mn n m n m n m n m S ABC 52221232142143=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=∆.A 级1.⎩⎨⎧≠+-≥--,034,0232x x x ⎩⎨⎧≠≠≤≥∴,13,15x x x x 或或15<≥∴x x x 或. 2. 不正确，正确的答案是()a a -⋅-13.2213⎪⎭⎫⎝⎛ 4.161- 5.B 6.D 7.D 8.B 9.75 10.23117-11. 提示:设法证明()+-21b a ()()22211111⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=-+-a c c b b a a c c b 12.∵y x x ,100,116+-都为整数，100,116+-∴x x 必为整数.设(),,,100,11622为正整数n m n m n x m x <=+=-得()(),21610011622=---=-x x n m 即()()m n n m -+=216=4×54=2×108.当108=+n m 时，y 的值最大，最大值为108.B 级1.-162.2000 提示：由02000≥-a 得2000≥a3.4011- 4.314521-≤≤s 提示：19314,19521s b s a -=+= 5.D 6.D 提示：由a a+=11得0>a 7.B 8.C 9.6610.提示：令k cz by ax ===333,则3331,1,1kcz k b y k a x ===11.(1)当,0≠==d c a 时，db s =是有理数;当≠c 时，()dcx c ad b c a d cx c ad b d cx c a d cx b ax s +-+=+-++=++=,其中c a 是有理数，d cx +是无理数,c ad b -是有理数;要使s 为有理数，只有0=-cadb ，即ad bc =.综上知，当000≠≠==cd c a 或且且ad bc =时，s是有理数.(2)当0,0≠=d c 时，且s a ,0≠是无理数;当0≠c 时，dcx c adb c a d cx b ax s +-+=++=, 其中c a 是有理数，d cx +是无理数，c ad b -是有理数，所以，当0≠-cad b ，即s ad bc ,≠为无理数.综上知，当0,0,0≠≠=d a c 或s ad bc c ,,0时≠≠是无理数.12. ∵()()222222112121111++-++=+++n n n n n n n n()221111121+++⋅+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n 11111111112+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=n n n n n n n n 200012000200011999113121121111-=-+++-++-+=∴ S .[]1999=∴S 13.(1)AC+CE=()182522++-+x x .(2)当A,C,E 三点共线时，AC 十CE 的值最小.(3)如图，作BD=12，过点B 作A B ⊥BD ，过点D 作DE ⊥BD ，且使AB=2,DE=3，连结AE 交BD 于点C ，设BC=x ，则CD =12-x,AE 的长即为()912422+-++x x 的最小值，过点A 作AF//BD 交ED 的延长线于点F ，则DF=AB=2，EF=ED+DF=5，AF=BD = 8 , AE=22EF AF + =22512+ =13，即原式的最小值为13.。