第一章矢量分析
矢量场和标量场
三种常用的坐标系
矢量的基本运算
标量场的梯度
矢量场的散度
矢量场的旋度
亥姆霍兹定理
* 标量场的梯度是一个矢量场；
* 当a l的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。
* 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。
矢量场的散度
✧闭合面的通量
✧散度的定义
✧散度的性质
✧高斯散度定理
矢量场的矢量线
为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的概念。
矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。
线的疏密代表场的大小。
一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。
电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是矢量线的例子。
x y z d F F F dx dy dz
F l 求出该微分方程的通解可绘出矢量线
z
y x F F F
式中,C
1和C
2
为任意常数，可以看出，
电力线是一簇从点电荷所在点向空间发散的径向辐射线，这一簇矢量线形象地描绘出点电荷的电场分布状况。
矢量场的通量
面元通量 反映矢量通过面元的量（如：水量） 对于开表面, n 与表面的闭合曲线构成右手螺旋关系。
对于闭合表面, n 为外法向单位矢。
矢量与n 成锐角，通量为正
cos d d Ads
A s 将曲面的一个面元用矢量d S 来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为d S ，即d S =n dS ,n
是面元法线方向的单位矢量。
矢量场的通量
矢量的通量Φ
S S d dS
A S A n 通量的意义：通过曲面S 的量（对于流速场：水流量） 通量是个标量。
矢量场的通量
闭合面通量Φ的物理意义
对于封闭曲面S ，如果 >0，表示净通量线从曲面S 的内部穿出曲面，因为通量线一定是通量正源发出的，所以根据能量守恒原理，可以判断曲面S 内必然包含发出通量线的正源。
反之，如果 <0，则曲面内必然包含吸收通量线的负源。
如果 ＝0，则曲面内不包含净源。
因此，通量可以是封闭曲面内通量源的判据。
•矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；•散度代表场中任一点处，通量对体积的变化率，因此又可称为通量源密度。
在场中任意一点M 处
若，表明该点有发出通量线的正源。
若，表明该点有吸收通量线的负源。
若，表明该点无源。
div 0 A div 0 A div 0 A div 0
A div 0
A div 0 A 散度运算能起到验源的作用。
x x x x A x y z A y z
x A x y z x
前后
x
y
o x
x A A x
x
S
y x z d A A A V x
y z
左右前后
上下
A S
x y z x x y y z z A A A x y z a a a a a a A
0r r r
a a 0r z z a a
散度基本运算公式C
A A
C C
()
A B A B
()
A A A
u u u
()
2222
533()04y x z
D D D div x y z
q r x y z r
D D 含义：散度为0→通量源的密度为0→??
V S
V
S
dV d
A A S
1
1
lim i
i k k
i
S V i i V d
A A S
公共面上
则
V
S
dV d
A A S Guass 定理把通量源的体积分变换为S 面上场的面积分。
得证。
in jn
n n i j
d d A S A S 1
i
k
S S
i d d
A S A S
33
43343
S V V d dV dV R R r S r
矢量场的旋度
✧矢量场在闭合路径的环量✧矢量场的旋度
✧旋度的基本运算公式
✧斯托克斯定理
矢量的环量
环量:矢量A 沿闭合路径的线积分。
cos c
c
d A d
A l l
•环量表达的是旋涡特性，环量越大，旋转的趋势越强
•与矢量及路径有关
•描述的是旋涡特性的总量
如果某矢量的环量不为零，则认为场中必然有产生这种场的旋涡源。
如果环量为零，则这个场中不可能有旋涡源。
lim
S rot S
A n 对比方向导数和梯度的概念！！
旋度为0，该点无漩涡 旋度不为0，该点有漩涡
如果矢量场处处旋度为0，则该矢量场为无旋场
以点M (x ,y ,z )为顶点在平行于yoz 平面上，取矩形面元 设点M 处的面元矢量为
旋度在三个坐标系中的计算公式
直角坐标系
x x y z
S a x x y y z z
A A A A a a a
z y z
y
z
lim
z
y
c
x z S z
d A A rot S x y
A l A
x
y
z
x y z A A A
A
r z
A rA A
sin R
R A RA R A
22
x y z x y x dx y dy
000
02
2
2
2
c
d x dx y dy x dx y dy
A l
旋度基本运算公式
C
A A
C C
()
A B A B
()
A A A
u u u
()
A B B A A B
()
【斯托克斯Stokes 定理】
c
S
d d
A C A S
其中S 是回路c 界定的面积。
意义：环量面密度的面
积分是曲面的环量，矢量在曲面边上的线积分也是曲面的环量，两种算法的结果一样。
S dS A n A n c d A l
得
i i
c A
d d
l A S
将所有面元叠加，在△S i →0条件下，有
1
1
i
k
k
i
c i i
d d
A l A S c
S
d d
A l A S
得证。
相邻边界对消
●矢量函数的线积分与面积分的互换。
●
该公式表明了区域S中场A 与边界L 上的场A 之间的关系●
Gauss公式和Stockes公式是两个非常重要的公式。
线积分---面积分-----体积分
由于在O A路径上有y=0,d y=0，及在B O路径上有x=0,d x=0，即F d l在这两部分积分中均为０，所以
C
(2)9(1)
2
B B
A A
d d xydx-xdy
F l F l
2
()S
C
d d
F l F S
由上可得：
()()()
()()()x y z
rot x
y
z
x z y y x z z y x z y x z y x
A A a a a
26317
27777
M
A
n
333303340
x y z q z y x z y r z r z r x r y x x r y r a a a
旋度的两个重要性质
性质1：旋度的散度恒等于0。
推论：对于一个散度恒为0的矢量B ，可以将其表示为矢量A 的旋度。
div rot A A 0 B B A
()()()0
y y x x
z z A A A A A A x y z y z x z x y
A
性质2：标量的梯度的旋度恒等于0。
rot gradu u 推论：一个旋度为0的矢量A 可以表示为某个标量函数u 的梯度
A u
0A
0u x y z x y z u u u x
y
z x
y
z
作业 1.13,1.16
1、采用直角坐标系下 算子的公式证明：
2、根据 算子的运算规则，证明：
()() u u u u 为常数矢量
C C
C C C ()()u u u u u u A A A A A A。