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第2章 z变换
表 2 1 几 种 序 列 的 变 换
Z
第2章 z变换
2.3 Z反变换
已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变 换，
x(n)=Z-1［X(z)］
Z
若

X (z) x(n)zn Rx | z | Rx
n
(2-10)
则
x(n) 1 X (z)zn1dz
2.5.2 傅氏变换与序列的Z变换
第2章 z变换
2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数，系统的频率响应
2.8.1 因果稳定系统 2.8.2 系统函数和差分方程的关系 2.8.3 系统频率响应的意义 2.8.4 频率响应的几何确定法 2.8.5 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）
2.2
2.2.1 Z变换的定义
Z变换
第2章 z变换
一个离散序列x(n)的Z变换定义为

X (z) x(n)zn
(2-1)
n
式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用
Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即
Z[x(n)] X (z)
(2-2)
第2章 z变换
究收敛域的重要性。
第2章 z变换
（4） 双边序列： 一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和， 即


1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
(1-62)
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。
等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序列，
第二章 Z变换
2.1 引言
第2章 z变换
2.2 Z 变 换
2.2.1 Z变换的定义
2.2.2 Z变换的收敛域
2.3 Z反变换
2.3.1 围线积分法（留数法）
2.3.2 部分分式展开法
2.3.3 幂级数展开法（长除法）
2.4 Z变换的性质
2.5 拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系
2.5.1 拉氏变换与Z变换
“○”表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。
第2章 z变换
收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。 所以，右边序列的Z变换如果有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在， 那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外，也即
Rx max[| z1 |, | z2 |, ,| zN |]
解

N 1
X (z) RN (n)zn zn
n
n0
1 z 1 z 2 z (N 1)
这是一个有限项几何级数之和。因此
X
(
z
)

1 1
zN z 1
0 | z |
第2章 z变换
（2）右边序列：右边序列是指x(n)只在n≥n1时有值，在n<n1
例1-9 x(n)=a|n|, a为实数，求其Z变换及收敛域。 解 这是一个双边序列，其Z变换为


1
X (z) x(n)zn an zn an zn
n
n0
n
设
X 1 ( z )

n0
a n z n
1 1 az1
X 2 (z)


X (z) x(n)z n Rx | z | n0 (2-6)
Z变换收敛域包括|z|=∞处是因果序列的特征。
第2章 z变换
例2-2 x(n)=anu(n), 求其Z变换及收敛域。 解 这是一个因果序列，其Z变换为
X (z)


a nu(n) z n
n


an z n
n0


(az 1 ) n
n0

1 1 az1
|z|>|a|
这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|<1即|z|>|a|处收敛
如图2-7所示。故得到以上闭合形式的表达式，由于 1 z 1 az1 z a
, 故 在 z=a 处 有 一 极 点 ( 用 “ ×” 表 示 ) ， 在 z=0 处 有 一 个 零 点 ( 用
X (z)

a1z 1 a1z

z
z a

1 1 az1
| z || a |
序列Z变换的收敛域如图2-8所示。
函数
z
z
a

1 1 az1
在z=a
处有一极点，整个收敛域在极点所在圆以内的解析区域。
jIm[z]
第2章 z变换
a
o
Re[z]
|z|＝a| |
图2-8 左边序列收敛域
这种变换也称为双边Z变换，与此相应的单边Z变换的定义 如下：

X (z) x(n)zn n0
这种单边Z变换的求和限是从零到无穷，因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明， 均用双边Ｚ变换对信号进行分析和变换。
第2章 z变换
2.2.2 Z变换的收敛域 显然，只有当式（2-1）的幂级数收敛时，Z变换才有意义。

Z[ (n)] (n)z n 1 n
0 | z |
所以收敛域应是整个z的闭平面(0≤|z|≤∞)， 如图2-6所示。
jIm[z]
第2章 z变换
o
Re[z]
图 2-6 δ(n)的收敛域(全部Z平面)
第2章 z变换
例题 求矩形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。
x(n)

x(n)
0
n1 n n2 其他n
第2章 z变换
其Z变换为
n2
X (z) x(n)zn
nn1
设x(n)为有界序列，由于X(z)是有限项级数之和，除0与∞两
点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。如果 n1<0，则收敛域不包括∞点；如果n2>0，则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列，收敛域包括∞点。具体有限长序列的收敛域表
其收敛域为|z|<Rx+。如果Rx-<Rx+，则存在公共收敛区域，X(z)有收
敛域
Rx-<|z|<Rx+
这是一个环状区域。如果Rx->Rx+，则无公共收敛区域，X(z)无 收敛域，也即在Z平面的任何地方都没有有界的Ｘ(z)值，因此就不 存在Z变换的解析式， 这种Ｚ变换就没有什么意义。
第2章 z变换
对于因果序列，∞处也不能有极点。
jIm[z]
第2章 z变换
|a| a
o
Re[z]
图 2-7 图 1-24
第2章 z变换
（3） 左边序列: 左边序列是指在n≤n2时x(n)有值，而在n>n2 时x(n)=0，其Z变换为
n2
0
n2
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
2j c
c (Rx , Rx )
(2-12)
jIm[z]
c o
第2章 z变换
|z|＝Rx＋ |z|＝Rx－
Re[z]
图2-11 围线积分路径
第2章 z变换
证
1
2j
时x(n)=0。 其Z变换为

1

X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn (2-5)
nn1
nn1
n0
此式右端第一项为有限长序列的Z变换，按上面讨论可知,它的收
敛域为有限Z平面；而第二项是z的负幂级数，按照级数收敛的
阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在 以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。因此， 综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。所以，如果Rx-是 收敛域的最小半径，则右边序列Z变换的收敛域为
Rx-<|z|<Rx+
收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域（图中 的斜线部分）。Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可以小到零，R x+可以大到无穷大。
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：
X (z) P(z) Q(z)
第2章 z变换
jIm[z]
o |z|＝Rx－
对任意给定序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的 集合称为X(z)的收敛域。
按照级数理论，式（2-1）的级数收敛的充分必要条件是满 足绝对可和的条件，即要求

| x(n)z n | M
(2-3)
n
第2章 z变换
要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就 是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即
2.1 引言
第2章 z变换
我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时 域分析方法和频率分析方法。
在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的 函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域 进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域 函数转换到频率域。
在时域离散信号和系统中，信号用序列表示， 其自变量仅取整数， 非整数时无定义， 而系统则 用差分方程描述。
Rx-<|z|<∞ 右边序列及其收敛域如图1-23所示。
第2章 z变换
jIm[z]
Rx－
o
Re[z]
图1-23 （n1<0， |z|=∞除外）
第2章 z变换
因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。 也就是说，在n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0，其Z变换级数中无z 的正幂项，因此级数收敛域可以包括|z|=∞。