考试科目：弹塑性力学试题班号 研 班 姓名 成绩一、概念题（1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。

（2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。

（3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。

二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为：,)11(2)11(10,2,2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+--==+-=+=θθθμμμμμτσσu Cr r A E u C r A C r A r r r利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。

解：边界条件为：a r =时：p r -=σ；0=θτrb r =时：0=r u ；0=θu 。

将上述边界条件代入公式得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎢⎣⎡--+-+--=-=+=0)11(2)11(1222μμμμb C b A E u p C a Abr r 解上述方程组得：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+---=]21[221212222222a b pa C a b b pa A μμμ 则该问题的应力和位移分量的解分别为：()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+--==+--+--=+--+---=∙∙011)]21([11)]21([)21(1021121212112121222222222222222222222222θθθμμμμμμμμτμμμσμμμσu b a pra b a r b pa E u a b pa r a b b pa a b pa r a b b pa r r r三、已知弹性半平面的o 点受集中力222222222223)(2)(2)(2y x yx Py x xy Py x x Pxyy x +-=+-=+-=πτπσπσ利用上述解答求在弹性半平面上作用着n个集中力i p 构成的力系， 这些力到所设原点的距离分别为i y ,试求应力xy y x τσσ,,的一般表达式。

解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为：yy()()()()[]()()()()()[]()()()()()[]⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-++-+-=-++-+-=-+++-=222222222223222i i i xy i i i y ii x y y a x y y a x P y y a x y y a x P y y a x a x P πτπσπσ故由叠加原理，n 个集中力构成的力系在点（x ，y ）处产生的应力为：()()()()[]()()()()()[]()()()()()[]⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-++-+-==-++-+-==-+++-==∑∑∑∑∑∑======n i i i ni i xy xy n i ii n i i y y n i ini i x x y y a x y y a x P y y a x y y a x P y y a x a x P 122221122221122231222πττπσσπσσ四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，弹簧系数为k ,承受分布荷载)(x q 作用。

试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。

解：第一步：全梁总应变能为：dx dx w d EI wdv U l v 202221⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==外力做功为：⎰=-=ll x kw qwdx T 02|21总势能为：l x l l kw qwdx dx dx w d EI T U =⎰⎰+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=∏|2121202022第二步：由最小势能原理可知：0=∏δ等价于平衡微分方程和静力边界条件。

l x l l kw wdx q dx dx w d EI =⎰⎰+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∏|2121202022δδδδl x l lw kw wdx q dx dx w d dx w d EI =⎰⎰+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=|022022δδδ （*） 其中=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dx dx w d dx w d EI l22022δdx dx dw dx d dx w d EI l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰δ022 dx dx dw dx w d EI dx d dx w d dx w d EI l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰δδ022022|wdx dx ddx w d EI dx d dx dw dx w d EI l l δδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰220022|将其代入（*）式并整理可得：wdx q dx w d EI dx d dx dw dx w d EI l l δδδ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏02222022|0||0022=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-l l w kw w dx w d EI dx d δδ 由于当0=x 时，0=dx dw ，022=dxwd ； 所以平衡微分方程为：0)(2222=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x q dx w d EI dxd （0≤x ≤l ）静力边界条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==002222l x lx dx w d dx w d EI dx d kw五、已知空间球对称问题的一般解为：BR EA EB R EA E RB R A u T R R 332)1(21)1(221μμσμμσ++-=+--=+=其中R 是坐标变量，R u 是径向位移，T Rσ,匀内外压b a q q ,时的解答，然后在此基础上导出无限大体中有球形孔洞，半径为a ，内壁受有均匀压力q 时的解答。

解：（1）相应空心球受均匀内外压b a q q ,时的边界条件为：a R =：a R q -=σb R =：b R q -=σ将上述边界条件代入得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+---=+--baqB b E A E q B a E A E33)1(221)1(221μμμμ 可解得：()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=---=E b a b a q q B E b a a q b q A a b a b 333333332121μμ 故空心球受均匀内外压b a q q ,时的解为：b()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--+--=-----=-+-+---=∙∙∙∙33333333333333333323333333312112121R b a b a q q b a a q b q R b a b a q q b a a q b q R E b a b a q q R E b a a q b q u a b a b T a b a b R a b a b R σσμμ （2）当无限大体中有球形孔洞，半径为a ，内壁受有均匀压力q 时，即在上式中令q q a = 、0=b q 、∞→b ，则可得：()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=333323221R qa R qa ER qa u T R R σσμ 六、已知ijij ij i j j i ij i j ij e u u F μεδλσεσ2)(210,,,+=+==+推导以位移分量表示的平衡微分方程。

解：由)(21,,i j j i ij u u +=ε得 k k k k k k kk u u u e ,,,)(21=+==ε将上述两式代入ij ij ij e μεδλσ2+=，得到()i j j i ij k k ji ij u u u ,,,++==μδλσσ代入0,=+i j ij F σ得()0,,,=+++i ij j jj i ij kj k F u u u μδλ而ji j ki k ij kj k u u u ,,,λλδλ==，ij j ji j u u ,,= 故平衡方程可写成()0,,=+++i ji j jj i F u u μλμ由因为i i i j j jij x e e u u ∂∂===,,,)()(；i i jj i jj i u u zy x u u 2222222,,)()(∇=∂∂+∂∂+∂∂== 所以以位移分量表示的平衡微分方程的最终形式为：0)(2=+∂∂++∇i ii F x eu μλμ。

七、证明弹性力学功的互等定理（用张量标记）。

证明：（1）先证可能功原理考虑同一物体的两种状态，这两种状态与物体所受的实际荷载和边界约束没有必然的联系。

第一状态全用力学量（()s iF 、()s iP 、()s ijσ）来描述，它在域内满足平衡方程()()0,=+s i s j ij F σ并在全部边界条件上满足力的边界条件：()()s i j s ij P =υσ第二状态全用几何量（()()k ik iju ,ε）来描述。

它在域内满足几何方程()()())(21,,k i j k j i k ij u u +=ε且要求全部边界位移等于域内所选位移场在边界处的值。

从而利用力的边界条件和高斯积分定理，可得()()()()()()()()()()()()*,,,dVu dV u dVu dS u dS u P Vk j i s ij Vk i s j ij jVk is ij j Sk i s ij S k i s i ⎰⎰⎰⎰⎰+===σσσυσ利用平衡方程，式（*）右端第一项可化为()()()()⎰⎰-=Vk i s i Vk i s j ij dV u F dV u ,σ第二项利用张量的对称性和几何方程可改写成()()()()()()()()()()dV dV u u dVu u dV u V k ij s ij V k i j k j i s ij Vk j i k j i s ij Vk j i s ij ⎰⎰⎰⎰=+=+=εσσσσ)(21)(21,,,,,即式（*）成为()()()()()()()()()()()()()**dVdS u P dV u F dVdV u F dS u P Vk ij s ij Sk i s i Vk i s i Vk ij s ij Vk i s i Sk i s i ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+⇒+-=εσεσ式（**）即为可能功原理。