其中常数a0,a1,a2,....an...叫做幂级数的系数.
学 数
例如
1 + x + x 2 + ... + x n + ...
1+ x + 1 2 1 x + ... + x n + ... 2! n!
都是幂级数
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幂级数之所以简单而重要,首先在于它的部分和Sn(x)是 关于x的多项式,尽管它的和函数S(x)可能是很复杂的函数, 当它总是可以用多项式来近似地表达,而且只要n充分大 时,这种近似表达可以达到任意指定的精确程度,其次幂级 数的收敛域有比较简单的形式. 幂级数收敛域的研究由Aber得到
(2)
以把常数项级数的有关理论和审敛法的知识应用到函数项 级数中来.
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级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,我们称点x0是函 数项级数(1)的收敛点;如果(2)发散,我们称点x0是函数项级 数(1)的发散点 函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所 有发散点的全体称为它的发散域.
当
学 数
x2 2
> 1即 | x |> 2幂级数发散.收敛半径为 2
当x = ± 2时, 原级数为∑ 1, 显然发散,
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解法二
tn 令x2=t,原级数化为t的幂级数 ∑ n n =0 2
n
∝
=+∝
学 数
所以收敛半径R=0,级数仅在x=0处收敛
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x n 例5 求级数的收敛半径和收敛区间 ∑ n! ( ) n n =1
∝
an +1 (n + 1)! n n ρ = lim = lim[ ⋅ ] n +1 n →∝ a n →∝ ( n + 1) n! n
( n + 1) ⋅ n n 1 = lim = n +1 n →∝ ( n + 1) e
1 = lim =0 n →∝ n +1
学 数
所以收敛半径R=+∞,收敛区间是(-∞,+∞)
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n! x n 例4 求级数的收敛区间 ∑
n =1 ∝
解:
an +1 ρ = lim n →∝ a n
(n + 1)! = lim = lim n + 1 n →∝ n →∝ n!
n=1 ∝
a0 + a1 x0 + a2 x0 + ... + an x0 + ...
2 n
n 收敛.根据级数收敛的必要条件,这时有 lim an x0 = 0. n →∝
n 于是存在一个常数M,使得 an x0 ≤ M (n = 1,2,...)
学 数
这样级数(3)的一般项的绝对值
an x
n
= an x ⋅
通项不趋于0,级数发散
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n！ e n 当 x = − e ，原幂级数为 ∑ ( − 1) n , n n n =1
∝
同样原级数通项不趋于
0 , 发散
所以原幂级数的收敛半径为e,收敛区域为(-e,e)
学 数
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x2n 例6 求级数的收敛半径和收敛区间 ∑ 2n n=0
1
ρ
, 幂级数绝对收敛.
1 .
ρ ρ (2)若ρ = 0, 则对任何x都有ρ x = 0 < 1,因而幂级数在
, 级数发散.故收敛半径为R =
学 数
整个数轴上都收敛, 故R = + ∝ . (3)若ρ = + ∝, 则除了x = 0
以外的其它一切x值, 都有ρ x > 1, 于是
R = 0.
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学 数
收敛情况. 关于幂级数的收敛半径求法,有下面的定理:
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定理2
an x n 设有幂级数 ∑
n =0 ∝
,如果它的系数满足
an+1 lim =ρ n→ a ∝ n
(1)若0 < ρ < + ∝, 则收敛半径R = 1
ρ
.
(2)若ρ = 0, 则收敛半径R = + ∝
学 数
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对于任何幂级数∑ an x 如果都存在一个非负数R, 0<R<+∞,
n n =0 ∝
且当|x|<R时幂级数绝对收敛;而当|x|>R时幂级数发散. 特殊地,如果R=+∞,则幂级数在(-∞,+∞,)内收敛;如果R=0, 则幂级数仅在x=0处收敛. 这个数R称为幂级数的收敛半径.(-R,+R)叫做收敛域.由 幂级数在x=±R处的收敛性,就可决定它在区间(-R,+R)上的
∝
本幂级数x的奇次幂的系数a2n+1=0,故不能用公式法求收 敛半径.这里有二种解法
学 数
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lim
n →∝
解法一,利用正项级数的比值法考察
x 2n ∑ 2n n =0
∝
x 2n+ 2 2 n +1
2 ⋅ 2n = , 2 x
n
x2
当
x2 2
< 1,即 | x |< 2幂级数收敛
学 数
1 S ( x) = ; 1− x
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例2 讨论函数项级数 利用比值判别法
1 ∑ 1 + x n 的收敛域 n =1
∞
1 n +1 u n +1 ( x ) 1+ xn lim = lim 1 + x = lim n→∞ u ( x) n→∞ n → ∞ 1 + x n +1 1 n 1+ xn
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综上可知 , ∑ x n −1的收敛域为 ( − 1,1), 在此区间上其和
n =1 ∝
当 | x |> 1时 , lim S n ( x )不存在 , 级数 (*) 发散 ;
n →∝
当 | x |= 1时 , 常数项级数 1 + 1 + 1 + ...和1 − 1 + 1 − 1 ...都发散
学 数
数,记为 ∑ un ( x)
n =1
∝
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就成为 u1(x0 )+u2(x0 )+...+un(x0 )... 这个级数(2)就是常数项级数 对于I上的不同的点,就有不同的常数项级数,所以函数项 级数和常数项级数的关系是一般和特殊的关系.这样我们可
学 数
对于I上的任一定点x0,函数序列就成为数列,此时函数项 级数 u1(x)+u2(x)+...+ un(x)... (1)
学 数
注意:I上的点若不是收敛点就是发散点,收敛域可能是区间, 也可能是孤立点,还可能是空集.
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的常数项级数,因而有一确定的和S.这样在收敛域上,函数 项级数的和是x的函数S(x),通常称S(x)为函数项级数的和 函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,写成 S(x)= u1(x)+u2(x)+...+un(x)... 把函数项级数(1)的前n项的部分和记作Sn(x),则在收敛 域上有 lim S n ( x) = S ( x). 我们仍把rn(x)=S(x)-Sn(x)叫做函数
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第三节 幂
级
数
前面我们已经研究了常数项级数，下面将继续研究函数 项级数.这是比常数项级数具有更加广泛意义的级数。
一.函数项级数的一般概念
设u1(x),u2(x),...un(x)...都是定义在某一区间I上的函数序列, 则表达式u1(x)+u2(x)+...+un(x)... (1) 称为在I上的函数项级
级数收敛,且绝对收敛
学 数
故收敛域为 (−∞,−1)U (1,+∞)
高 等 数 学 电 子 教 案 二 幂级数及其收敛性
函数项级数是比较复杂的,这是因为它的每一项都是比 较复杂的函数.但这些函数都是幂函数时,它在理论上和形 式上都很简单,却应用很广泛的一类级数,称为幂级数. 幂级数的一般形式是
a0 + a1x + a2 x2 +... + an xn +...(3)
学 数
n →∝
对应于收敛域内的任意一个数x,函数项级数成为一收敛
项级数的余项(当然,只有x在收敛域rn(x)才有意义),于是有
lim rn ( x ) = 0 .
n →∝
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判断函数项级数的收敛性仍然和常数项级数一样,有 (1)和函数极限的存在性. (2)比值判别法 (3)根值判别法
学 数
1+ xn =1 x ≤ 1, x ≠ − 1 lim n +1 n→∞ 1 + x
比值判别法失效,但由
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1, x ≤ 1, x ≠ −1 1 lim = n →∞ 1 + x n 不存在，x = −1
知级数发散
1+ xn 1 x > 1 lim =| | n +1 n→∞ 1 + x x
学 数
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an xn当x=x0(x0≠0)时收敛,则适合 定理(Aber) 如果级数 ∑
n=1
∝