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数学数学中考数学压轴题的专项培优易错试卷练习题及解析

一、中考数学压轴题1.如图,射线AM 上有一点B ,AB =6.点C 是射线AM 上异于B 的一点,过C 作CD ⊥AM ,且CD =43AC .过D 点作DE ⊥AD ,交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ,使得CF =CB ,连接AF 并延长,交DE 于点G .设AC =3x .(1) 当C 在B 点右侧时,求AD 、DF 的长.(用关于x 的代数式表示) (2)当x 为何值时,△AFD 是等腰三角形.(3)若将△DFG 沿FG 翻折,恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上,连接'FD ,'GD .此时x 的值为 (直接写出答案)2.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线239334y x x =--x 轴交于A B 、两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C .(1)过点C 的直线5334y x =-x 轴于点H ,若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点,且在对称轴的右侧,过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ,作//PN x 轴交对称轴于点N ,以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ,当矩形PQMN 的周长最大时,在y 轴上有一动点K ,x 轴上有一动点T ,一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ,再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动,求动点G 运动时间的最小值:(2)如图2, 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置, 点A C 、的对应点分别为A C ''、,且点C '恰好落在抛物线的对称轴上,连接AC '.点E 是y 轴上的一个动点,连接AE C E '、, 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆'', 是否存在点E , 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知:如图,AB 为O 的直径,弦CD AB ⊥垂足为E ,点H 为弧AC 上一点.连接DH 交AB 于点F ,连接HA 、BD ,点G 为DH 上一点,连接AG ,HAG BDC ∠=∠. (1)如图1,求证:AG HD ⊥;(2)如图2,连接HC ,若HC HF =,求证:HC HA =;(3)如图3,连接HO 交AG 于点K ,若点F 为DG 的中点,HC 2HG =,求KG AK的值.4.如图,在四边形ABCD 中,∠B=90°,AD//BC ,AD=16,BC=21,CD=13.(1)求直线AD 和BC 之间的距离;(2)动点P 从点B 出发,沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q 从点A 出发,在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动,点P 、Q 同时出发,当点Q 运动到点D 时,两点同时停止运动,设运动时间为t 秒.试求当t 为何值时,以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形?(3)在(2)的条件下,是否存在点P ,使△PQD 为等腰三角形?若存在,请直接写出相应的t 值,若不存在,请说明理由.5.“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础,重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口,着力提升学生的核心素养.”全校师生积极响应和配合,开展各种活动丰富其课余生活.在数学兴趣小组中,同学们从书上认识了很多有趣的数.其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣.描述如下:一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x ,十位上和个位上的数字之和为y ,如果x y =,那么称这个四位数为“和平数”. 例如:1423,14x =+,23y =+,因为x y =,所以1423是“和平数”.(1)直接写出:最小的“和平数”是________,最大的“和平数”是__________; (2)求同时满足下列条件的所有“和平数”:①个位上的数字是千位上的数字的两倍;②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数;(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置,同时,将百位上与千位上的数字交换位置,称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”.例如:1423于4132为“相关和平数”求证:任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数.6.定义:如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3:5,那么称这个三角形为“准黄金”三角形,这条边就叫做这个三角形的“金底”.(概念感知)(1)如图1,在ABC 中,12AC =,10BC =,30ACB ∠=︒,试判断ABC 是否是“准黄金”三角形,请说明理由.(问题探究)(2)如图2,ABC 是“准黄金”三角形,BC 是“金底”,把ABC 沿BC 翻折得到DBC △,连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ,若点C 恰好是ABD △的重心,求AB BC的值.(拓展提升) (3)如图3,12l l //,且直线1l 与2l 之间的距离为3,“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上,点A 在直线1l 上.10AB BC =,若ABC ∠是钝角,将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C '',线段A C '交1l 于点D .①当30α=︒时,则CD =_________;②如图4,当点B 落在直线1l 上时,求AD CD 的值.7.一种实验用轨道弹珠,在轨道上行驶5分钟后离开轨道,第一颗弹珠弹出后其速度1y (米/分钟)与时间x (分钟)前2分钟满足二次函数21y ax ,后3分钟满足反比例函数关系,如图,轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟.(1)求第一颗弹珠的速度1y (米/分钟)与时间x (分钟)之间的函数关系式;(2)第一颗弹珠弹出1分钟后,弹出第二颗弹珠,第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同,直接写出第二颗弹珠的速度2y (米/分钟)与弹出第一颗弹珠后的时间x (分钟)之间的函数关系式;(3)当两颗弹珠同时在轨道上时,第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大,最大相差______;(4)判断当两颗弹珠同时在轨道上时,是否存在某时刻速度相同?请说明理由,并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻.8.∠MON=90°,点A ,B 分别在OM 、ON 上运动(不与点O 重合).(1)如图①,AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线,随着点A 、点B 的运动,∠AEB= °(2)如图②,若BC 是∠ABN 的平分线,BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°,则∠D= °.②随着点A ,B 的运动,∠D 的大小会变吗?如果不会,求∠D 的度数;如果会,请说明理由.(3)如图③,延长MO 至Q ,延长BA 至G ,已知∠BAO ,∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ,在△AEF 中,如果有一个角是另一个角的3倍,求∠ABO 的度数.9.对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ,,如果满足x y a += (x ≥0,a 为常数),那么我们称这样的点叫做“特征点”.(1)当2≤a ≤3时,①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中,满足此条件的特征点为__________________;②⊙W 的圆心为(,0)W m ,半径为1,如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点,请画出示意图,并直接写出m 的取值范围;(2)已知函数()10Z x x x=+>,请利用特征点求出该函数的最小值.10.如图一,矩形ABCD 中,AB=m ,BC=n ,将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ(0°<θ<90°)得到矩形A 1BC 1D 1,点A 1在边CD 上.(1)若m=2,n=1,求在旋转过程中,点D 到点D 1所经过路径的长度;(2)将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2,点D 2在BC 的延长线上,设边A 2B 与CD 交于点E ,若161A E EC =-,求n m 的值. (3)如图二,在(2)的条件下,直线AB 上有一点P ,BP=2,点E 是直线DC 上一动点,在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持BE n BG m =,设AB=33,试探究点E 移动过程中,PF 是否存在最小值,若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.11.综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形,60C ︒∠=(1)把菱形OABC 先向右平移4个单位后,再向下平移()03m m <<个单位,得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中,易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形,如图2.试探究:当m 为何值时,平行四边形'AEC F 为菱形:(2)如图,在()1的条件下,连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点,H 为AC 上一动点,I 为''B O 上一动点,连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值,并直接写出此时,H I 点的坐标.12.如图1,在O 中,弦AB ⊥弦CD ,垂足为点E ,连接AD 、BC 、AO ,AD AB =.(1)求证:2CAO CDB ∠=∠(2)如图2,过点O 作OH AD ⊥,垂足为点H ,求证:2OH CE DE +=(3)如图3,在(2)的条件下,延长DB 、AC 交于点F ,过点D 作DM AC ⊥,垂足为M ,交AB 于N ,若12BC =,3AF BF =,求MN 的长.13.如图,矩形ABCD 中,AD >AB ,连接AC ,将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ,平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应,点E 与点F 对应),连接BF ,分别交直线AD ,AC 于点G ,M ,连接EF .(1) 依题意补全图形;(2) 求证:EG ⊥AD ;(3) 连接EC ,交BF 于点N ,若AB =2,BC =4,设MB =a ,NF =b ,试比较()()11a b ++与9+62之间的大小关系,并证明.14.如图①,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠B =30°,AC =1,D 为AB 的中点,EF 为△ACD 的中位线,四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD 的边上). (1)计算矩形EFGH 的面积;(2)将矩形EFGH 沿AB 向右平移,F 落在BC 上时停止移动.在平移过程中,当矩形与△CBD 重叠部分的面积为3时,求矩形平移的距离; (3)如图③,将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ,将矩形1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转,当1H 落在CD 上时停止转动,旋转后的矩形记为矩形2212E F G H ,设旋转角为α,求cos α的值.15.在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、(点A 在点C 的左侧),与y 轴正半轴交于点B ,24OC OB ==.(1)如图1,求a m 、的值;(2)如图2,抛物线的顶点坐标是M ,点D 是第一象限抛物线上的一点,连接AD 交抛物线的对称轴于点N ,设点D 的横坐标是t ,线段MN 的长为d ,求d 与t 的函数关系式;(3)如图3,在(2)的条件下,当154d =时,过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ,点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点,连接PE 交x 轴于点F ,直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ,连接CG ,过点E 作EH CG 交DG 于点H ,若3CFG EGH S S =△△,求点P 的坐标.16.已知:菱形ABCD,点E 在线段BC 上,连接DE,点F 在线段AB 上,连接CF、DF, CF 与DE 交于点G,将菱形ABCD 沿DF 翻折,点A 恰好落在点G 上.(1)求证:CD=CF;(2)设∠CED= x,∠DCF= y,求y 与x 的函数关系式;(不要求写出自变量的取值范围)(3)在(2)的条件下,当x=45°时,以CD 为底边作等腰△CDK,顶角顶点K 在菱形ABCD 的内部,连接GK,若GK∥CD,CD=4 时,求线段KG 的长.17.如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.(1)当BP=时,△MBP~△DCP;(2)当⊙P与正方形ABCD的边相切时,求BP的长;(3)设⊙P的半径为x,请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围.18.已知:矩形ABCD 内接于⊙O ,连接 BD ,点E 在⊙O 上,连接 BE 交 AD 于点F ,∠BDC+45°=∠BFD ,连接ED .(1)如图 1,求证:∠EBD=∠EDB ;(2)如图2,点G 是 AB 上一点,过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ,若HK=BG+AF ,求证:AB=KG ;(3)如图 3,在(2)的条件下,⊙O 上有一点N ,连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ,连接 OP ,∠APO=∠CPO ,若 MD=8,MC= 3,求线段 GB 的长.19.如图,平面直角坐标系中,抛物线228y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 右侧),与y 轴交于点A ,连接AB ,25AB =.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 在第二象限的抛物线上,连接PB 交y 轴于D ,取PB 的中点E ,过点E 作EH x ⊥轴于点H ,连接DH ,设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围);(3)在(2)的条件下,作PF y ⊥轴于F ,连接CP 、CD ,CP CD =,点S 为PF 上一点,连接BS交y轴于点T,连接BF并延长交抛物线于点R.SBC FBO45∠+∠=︒,在射线CS上取点Q.连接QF,QF RF=,求直线TQ的解析式.20.如图,四边形AOBC是正方形,点C的坐标是(82,0).(1)正方形AOBC的边长为,点A的坐标是;(2)将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45︒,点A,B,C旋转后的对应点为A',B',C',求点A'的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积;(3)动点P从点O出发,沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动,同时,另一动点Q从点O出发,沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动,运动时间为t 秒,当它们相遇时同时停止运动,当OPQ△为等腰三角形时,求出t的值(直接写出结果即可).21.定义:将函数l的图象绕点P(m,0)旋转180°,得到新的函数l'的图象,我们称函数l'是函数关于点P的相关函数.例如:当m=1时,函数y=(x+1)2+5关于点P(1,0)的相关函数为y=﹣(x﹣3)2﹣5.(1)当m=0时①一次函数y=x﹣1关于点P的相关函数为;②点(12,﹣98)在二次函数y=﹣ax2﹣ax+1(a≠0)关于点P的相关函数的图象上,求a的值.(2)函数y=(x﹣1)2+2关于点P的相关函数y=﹣(x+3)2﹣2,则m=;(3)当m﹣1≤x≤m+2时,函数y=x2﹣mx﹣12m2关于点P(m,0)的相关函数的最大值为6,求m的值.22.已知四边形ABCD为矩形,对角线AC、BD相交于点O,AD=AO.点E、F为矩形边上的两个动点,且∠EOF=60°.(1)如图1,当点E、F分别位于AB、AD边上时,若∠OEB=75°,求证:DF=AE;(2)如图2,当点E、F同时位于AB边上时,若∠OFB=75°,试说明AF与BE的数量关系;(3)如图3,当点E、F同时在AB边上运动时,将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP,取线段CB的中点Q.连接PQ,若AD=2a(a>0),则当PQ最短时,求PF之长.23.如图,在等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=8,点D 在△ABC 外,连接AD 、BD ,且∠ADB=90°,AB 、CD 相交于点E ,AB 、CD 的中点分别是点F 、G ,连接FG .(1)求AB 的长;(2)求证:AD+BD=2CD ; (3)若BD=6,求FG 的值. 24.综合与探究:如图1,抛物线24832999y x x =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),顶点为D ,P 为对称轴右侧抛物线的一个动点,直线AD 与y 轴于点C ,过点P 作//PF AD ,交x 轴于点F .(1)求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标;(2)如图2,当//PC x 轴时,将AOC ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移,当点C 与点P 重合时停止平移.设平移t 秒时,在平移过程中AOC ∆与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; (3)如图3,过点P 作x 轴的平行线,交直线AD 于点E ,直线DF 与PE 交于点M ,设点P 的横坐标为m .①当3DM MF =时,求m 的值;②试探究点P 在运动过程中,是否存在值m ,使四边形AFPE 是菱形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.25.定义:两个相似等腰三角形,如果它们的底角有一个公共的顶点,那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”.如图,在ABC ∆与AED ∆中,,BA BC EA ED == ,且,ABCAED ∆∆所以称ABC ∆与AED ∆为“关联等腰三角形”,设它们的顶角为α,连接,EB DC ,则称DCEB会为“关联比". 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程,请阅读后,解答下列问题: [特例感知]()1当ABC ∆与AED ∆为“关联等腰三角形”,且90α︒=时,①在图1中,若点E 落在AB 上,则“关联比”DCEB=②在图2中,探究ABE ∆与ACD ∆的关系,并求出“关联比”DCEB的值.[类比探究]()2如图3,①当ABC ∆与AED ∆为“关联等腰三角形”,且120a ︒=时,“关联比”DCEB= ②猜想:当ABC ∆与AED ∆为“关联等腰三角形”,且n α=︒时,“关联比”DCEB= (直接写出结果,用含n 的式子表示) [迁移运用]()3如图4, ABC ∆与AED ∆为“关联等腰三角形”.若90,4,ABC AED AC ︒∠=∠==点P 为AC 边上一点,且1PA =,点E 为PB 上一动点,求点E 自点B 运动至点P 时,点D 所经过的路径长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、中考数学压轴题 1.A解析:(1)5AD x =,6DF x =+;(2)△ADF 为等腰三角形,x 的取值可以是4817,4831,12; (3)4或43【解析】 【分析】(1)由已知条件可得:CD=4x ,根据勾股定理得:AD=5x ,由AB=6且C 在B 点右侧,可以依次表示BC 、CF 、DF 的长;(2)分两种情况:①当C 在B 点的右侧时,AF=DF ,②当C 在线段AB 上时,又分两种情况:i )当CF <CD 时,如图3,ii )当CF >CD 时,如图4,由AF=DF ,作等腰三角形的高线FN ,由等腰三角形三线合一得:AN=ND=2.5x ,利用同角的三角函数列比例式可求得x 的值;(3)由翻折性质得到DG='GD ,'DGF FGD ∠=∠,从而证出'ADG AGD △≌△,从而推出∠FAC=∠DAG ,即AF 平分∠DAC ,过F 作FN ⊥AD 于N ,分两种情况:当C 在AB 的延长线上时,当C 在AB 边上时,根据35sin CDA ∠=可列出关于x 的比例式,即可求解. 【详解】 ⑴∵CD=43AC ,AC=3x , ∴CD=4x, ∵CD⊥AM, ∴∠ACD=90°, 由勾股定理得:AD=5x , ∵AB=6,C 在B 点右侧, ∴BC=AC-AB=3x-6, ∵BC=FC=3x-6,∴DF=CD -FC=4x-(3x-6)=x+6; (2)分两种情况: ①当C 在B 点的右侧时, ∴AC >AB , ∴F 必在线段CD 上, ∵∠ACD=90°,∴∠AFD 是钝角,若△ADF 为等腰三角形,只可能AF=DF ,过F 作FN⊥AD 于N ,如图,∴AN=ND=2.5x,∴DN DC cos ADCDF AD ∠==,即2.5465x xx x +=,解得,4817x=;②当C在线段AB上时,同理可知若△ADF为等腰三角形,只可能AF=DF, i)当CF<CD时,过F作FN⊥AD于N,如图,x的取值可以是4817,4831,12;∵AB=6,AC=3x,∴BC=CF=6-3x,∴DF=4x-(6-3x)=7x-6,∵DN DC cos ADCDF AD ∠==,∴2.54 765x xx x-=,解得4831x=;ii)当CF>CD时,如图4,BC=CF=6-3x ,∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x , 则6-7x=5x ,x=12, 综上所述,x 的取值可以是4817,4831,12; (3)∵△DFG 沿FG 翻折得到'FDG △∴DG='GD ,'DGF FGD ∠=∠ 又∵AG=AG, ∴'ADG AGD △≌△ ∴∠FAC=∠DAG, 即AF 平分∠DAC,如图, 当C 在AB 的延长线上时,过F 作FN⊥AD 于N , FN=FC=3x-6,DF=x+6,36365x x -+=, 解得:x=4;当C 在AB 边上时,如图,∵FN=FC=6-3x , DF=7x-6,∴633765x sin CDA x -∠=-=, 解得43x =; 综上所述,x 的值是4或43. 【点睛】本题是四边形的综合题,考查了平行四边形、菱形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、同角的三角函数以及动点问题,采用分类讨论的思想,并参考数形结合解决问题.2.A解析:(1)min 92t R H '==;(2)(0,0,6)或(0,(0,12). 【解析】 【分析】(1)根据题意设29(4P m m --,5(,4Q m m -,以及作R 关于y 轴对称(R '-,并过R '点作直线:4l y =的垂线交于H 点R H '即为所求,从而进行分析求解即可; (2)根据题意分四种情形即①当AA''=A''B 时;②当AA''=AB 时;③当AA''=A''B 时;④当A''B=AB 时分别画出图形并进行分析求解. 【详解】解:(1)设29(4P m m --,5(,4Q m m -,292()2(2PQMN C QP NP m ∴=+=+-矩形, 30-<,开口向下,∴当m =P -,最少时间12t RK RK TB =++, 3(3,2R -,作R 关于y 轴对称(R '-,过R '点作直线3:4xl y =-的垂线交于H 点R H '即为所求, 令y=0,解得5312x =, 12()530H ∴,,t R K K T TH =+''+'', ∴过R ''作R H l ''⊥,22min 3119(33)(330)3242125t R H ∴==++'--=+. (2)①当AA''=A''B 时,如图2中,此时,A''在对称轴上 对称性可知∠AC′E=∠A''C′E 又∠HEC′=∠A''C′E ∴∠AC′E=∠HEC′∴333 ∴3, ∴E(0,3,②当AA''=AB 时,如图3中,设A″C′交y 轴于J .此时AA''=AB=BC'=A''C',∴四边形A''ABC'为菱形,由对称性可知,∠AC'E=∠A''C'E=30°,∴JE= 3JC′=3,2∴OE=OJ-JE=6∴E(0,6)③当AA''=A''B时,如图4中,设AC′交y轴于M.此时,A''在对称轴上∠MC'E=75°又∠AMO=∠EMC'=30°∴∠MEC'=75°∴ME=MC'∴MC'=3 3,∴OE=3+3 3,∴E(0,3+3).④当A''B=AB时,如图5中,此时AC'=A''C'=A''B=AB∴四边形AC'A''B为菱形由对称性可知,C'',E,B共线由抛物线2393344y x x =--与x 轴交于AB 、两点(点A 在点B 的左侧)可知, 令x=0,解得y=−3 3;令x=0,解得:x 1=− 3,x 2=4 3; ∴A (−3,0),B(43,0),OB=43, ∴OE= 3OB =12, ∴E (0,12).综上满足条件的点E 坐标为(0,3-3)或(0,6)或(0,3+3)或(0,12). 【点睛】本题考查二次函数综合题,解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题,学会利用垂线段最短解决最短问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.3.A解析:(1)详见解析;(2)详见解析;(3)15KG AK = 【解析】 【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等,进行角度计算,得90AHG HAG ∠+∠=︒,进而得到90AGH ∠=︒,即可证明AG HD ⊥;(2)连接AC 、AD 、CF ,根据同弧所对的圆周角相等,进行角度计算,得HFA HAF ∠=∠,进而得到HF HA =,再根据已知HC HF =,得到HC HA =; (3)在DH 上截取DT HC =,过点C 作CM HD ⊥于点M ,通过证明AHC ≌ATD 得到AH AT =,进而得到HG CH GD +=,再根据F 为DG 中点,得到GF DF =,通过勾股定理逆用,证明90HCF ∠=︒,再通过解ACE △得1tan 3CAB ∠=,解△CDH 得1tan 2CDF ∠=,求得OF 、OH ,逆用勾股定理证明90HOF ∠=︒,易求1tan 2KHG ∠=,1tan 3HAG ∠=,最后求得KGAK的值. 【详解】(1)证明:如图,设HAG ∠为α,∵HAG BDC ∠=∠, ∴HAG BDC α∠=∠=, ∵CD AB ⊥,∴90BDC DBE ∠+∠=︒∴90DBE α∠=︒-,∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角,∴90AHG ABD α∠=∠=︒-,∴90AHG HAG ∠+∠=︒,∴18090AGH AHG HAG ∠=︒-∠-∠=︒∴AG HD ⊥(2)如图,连接AC 、AD 、CF ,∵AB 为直径,AB CD ⊥,∴CE DE =,∴AB 垂直平分CD ,∴AC AD =,FC FD =,∴ACD ADC ∠=∠,FCD FDC ∠=∠,∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠,即ACF ADF ∠=∠,设FCD FDC α∠=∠=,ACF ADF β∠=∠=,∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角,∴ADH ACH β∠=∠=,∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=,∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠,∴2HFC α∠=,∵HC HF =,∴HCF HFC ∠=∠,∴22αβ=,∴αβ=,∵AB 为直径,∴90ADB ∠=︒,∴90HDB β∠=︒-,∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角,∴90HAB HDB β∠=∠=︒-,∵AB CD ⊥,∴9090BFD αβ∠=︒-=︒-,∵9090HFA BFD αβ∠=∠=︒-=︒-,∴HFA HAF ∠=∠,∴HF HA =,∴HC HA =;(3)如图,在DH 上截取DT HC =,∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角,∴ADH ACH ∠=∠,∵AB 为直径,且AB CD ⊥∴AC =AD ,∴AC AD =,∴AHC ≌ATD ,∴AH AT =,∵AG HT ⊥,∴HG TG =,∴HG CH GT DT GD +=+=,设2HG k =,则4CH k =,GD 6k =,∵F 为DG 中点,∴3GF DF k ==,∴5HF HG GF k =+=,FD =CF =3k ,在HCF 中,由勾股定理逆定理得90HCF ∠=︒,过点C 作CM HD ⊥于点M ,由△HCF 面积,可求CM =125k , ∴229=5MF CF CM k -=, ∴1tan 2CM CM CDF MD MF FD ∠===+, 解ACE △得1tan 3CAB ∠=, 易求OF ,OH ,由勾股定理逆定理得90HOF ∠=︒, 易求1tan 2KHG ∠=,1tan 3HAG ∠=, ∴15KG AK =. 【点睛】本题考查圆与三角形综合,主要考查知识点有同弧所对的圆周角相等,垂径定理,三角形全等的判定与性质,勾股定理的逆用,解直角三角形,锐角三角函数等,知识点跨度大,计算量多;熟练掌握圆的性质和三角形相关知识是解决本题的关键.4.A解析:(1)12;(2)5s 或373s ;(3)163s 或685s 或72s 【解析】【分析】(1)AD 与BC 之间的距离即AB 的长,如下图,过点D 作BC 的垂线,交BC 于点E ,在RtDEC 中可求得DE 的长,即AB 的长,即AD 与BC 间的距离;(2)四边形QDCP 为平行四边形,只需QD=CP 即可;(3)存在3大类情况,情况一:QP=PD ,情况二:PD=QD ,情况三:QP=QD ,而每大类中,点P 存在2种情况,一种为点P 还未到达点C ,另一种为点P 从点C 处返回.【详解】(1)如下图,过点D 作BC 的垂线,交BC 于点E∵∠B=90°,AD ∥BC∴AB ⊥BC ,AB ⊥AD∴AB 的长即为AD 与BC 之间的距离∵AD=16,BC=21,∴EC=5∵DC=13∴在Rt DEC 中,DE=12同理,DE 的长也是AD 与BC 之间的距离∴AD 与BC 之间的距离为12(2)∵AD ∥BC∴只需QD=PC ,则四边形QDCP 是平行四边形QD=16-t ,PC=21-2t 或PC=2t -21∴16-t=21-2t 或16-t=2t -21解得:t=5s 或t=373s (3)情况一:QP=PD图形如下,过点P 作AD 的垂线,交AD 于点F∵PQ=PD ,PF ⊥QD ,∴QF=FD∵AF ∥BP ,AB ∥FP ,∠B=90° ∴四边形ABPF 是矩形,∴AF=BP由题意得:AQ=t ,则QD=16-t ,QF=8-2t ,AF=8+2t BP=2t 或BP=21-(2t -21)=42-2t∵AF=BP∴8+2t =2t 或8+2t =42-2t 解得:t=163或t=685情况二:PD=QD ,图形如下,过点P 作AD 的垂线,交AD 于点F同理QD=16-t ,PF=AB=12BP=2t 或21-(2t -21)=42-2t则FD=AD -AF=AD -BP=16-2t 或FD=16-(42-2t)=2t -26∴在Rt PFD 中,()22212162PD t =+-或()22212226PD t =+-∵PD=QD ,∴22PD QD =∴()()22216t 12162t =+--或()()22216t 12226t =+--解得:2个方程都无解情况三:QP=QD ,图形如下,过点P 作AD 的垂线,交AD 于点F同理:QD=16-t ,FP=12BP=2t 或BP=42-2tQF=AF -AQ=BP -AQ=2t -t=t 或QF=42-2t -t=42-3t在Rt QFP 中,22212PQ t =+或()22212423PQ t =+- ∵PQ=QD ,∴22PQ QD =∴()22216t 12t =+-或()()22216t 12423t =+--第一个方程解得:t=72,第二个方程解得:无解 综上得:t=163或685或72 【点睛】本题考查四边形中的动点问题,用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质,解题关键是根据点Q 运动的轨迹,得出BP 的长度.5.(1)1001;9999;(2)2754和4848;(3)见解析【解析】【分析】(1)根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001,最大的“和平数”是9999;(2)设这个“和平数”的千位数字是a ,百位数字是m ,十位数字是n ,其中a ,m ,n 均是正整数且19a ≤≤,09m ≤≤,09n ≤≤,则个位数字是2a ,又由029a ≤≤得到a 的可能取值为1,2,3,4;根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数,可知m +n =12,得到122a m +=,由a 的可能取值可得m 的取值,即可求得符合条件的“和平数”;(3)设任意一个“和平数”千位数字为a ,百位数字为b ,十位数字为c ,个位数字为d ,则它的“相关和平数”千位数字为b ,百位数字为a ,十位数字为d ,个位数字为c ,计算它们的和,根据“和平数”的定义可知a+b=c+d ,因式分解可得原式= 1111(a+b ),即可证明.【详解】解:(1)根据“和平数”的定义可得:最小的“和平数”1001,最大的“和平数”9999,故答案为1001;9999;(2)设这个“和平数”的千位数字是a ,百位数字是m ,十位数字是n ,其中a ,m ,n 均是正整数且19a ≤≤,09m ≤≤,09n ≤≤,则个位数字是2a ,又∵029a ≤≤,∴a 的可能取值为1,2,3,4;∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数,∴m+n =0或m+n =12,∵“和平数”中a+m =n+2a ,当m+n =0时,即m=n =0,则此时a =0,不符合题意,∴m+n =12,∴a+m =12−m +2a ,解得:122a m +=, ∵a 的可能取值为1,2,3,4;且m 为正整数,∴m 的可能取值为7,8;当a =2时,m =7,这个“和平数”是2754;当a =4时,m =8,这个“和平数”是4848;综上所述,满足条件的“和平数”是2754和4848;(3)设任意一个“和平数”千位数字为a ,百位数字为b ,十位数字为c ,个位数字为d ,则它的“相关和平数”千位数字为b ,百位数字为a ,十位数字为d ,个位数字为c , ∴(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++110011001111a b c d =+++1100()11()a b c d =+++由“和平数”的定义可知:a+b =c+d ,∴原式1100()11()a b a b =+++1111()a b =+,∵a ,b 为正整数,则1111()a b +能被1111整除,即(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++能被1111整除,∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数.【点睛】本题考查新定义运算、因式分解的应用;能够读懂题意,根据数的特点,确定数的取值范围,进行正确的因式分解是解题关键.6.A解析:(1)ABC 是“准黄金”三角形,理由见解析;(2)10AB BC =;(3)①AD CD =.【解析】【分析】(1)过点A 作AD BC ⊥于点D ,先求出AD 的长度,然后得到61035AD BC ==,即可得到结论;(2)根据题意,由“金底”的定义得:3:5AE BC =,设3AE k =,5BC k =,由勾股定理求出AB 的长度,根据比值即可求出AB BC的值; (3)①作AE ⊥BC 于E ,DF ⊥AC 于F ,先求出AC 的长度,由相似三角形的性质,得到AF=2DF ,由解直角三角形,得到3CF DF =,则(23)35AC x =+=,即可求出DF 的长度,然后得到CD 的长度;②由①可知,得到CE 和AC 的长度,分别过点B ',D 作B G BC '⊥,DF AC ⊥,垂足分别为点G ,F ,然后根据相似三角形的判定和性质,得到DF AF AE EC=,然后求出CD 和AD 的长度,即可得到答案.【详解】解:(1)ABC 是“准黄金”三角形.理由:如图,过点A 作AD BC ⊥于点D ,∵12AC =,30ACB ∠=︒, ∴162AD AC ==. ∴:6:103:5AD BC ==. ∴ABC 是“准黄金”三角形.(2)∵点A ,D 关于BC 对称,∴BE AD ⊥,AE ED =.∵ABC 是“准黄金”三角形,BC 是“金底”,∴:3:5AE BC =.不防设3AE k =,5BC k =,∵点C 为ABD △的重心,∴:2:1BC CE =.∴52k CE =,152k BE =.∴2215329(3)2k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. ∴329329:5AB k k BC ==. (3)①作AE ⊥BC 于E ,DF ⊥AC 于F ,如图:由题意得AE=3,∵35AE BC =, ∴BC=5, ∵10AB BC =, ∴10AB ,在Rt △ABE 中,由勾股定理得:22(10)31BE =-=,∴156EC =+=, ∴223635AC =+=∵∠AEC=∠DFA=90°,∠ACE=∠DAF ,∴△ACE ∽△DAF , ∴3126AE E D C F AF ===, 设DF x =,则2AF x =,∵∠ACD=30°, ∴3CF x =, ∴(23)35AC x ==解得:65315DF x ==∴2125615CD DF ==②如图,过点A 作AE BC ⊥于点E ,则3AE =.∵ABC 是“准黄金”三角形,BC 是“金底”,∴:3:5AE BC =.∴5BC =.∵105ABBC=,∴10AB.∴221BE AB AE=-=.∴6CE BE BC=+=,2236935AC CE AE=+=+=.分别过点B',D作B G BC'⊥,DF AC⊥,垂足分别为点G,F,∴90B GC DFC'∠=∠=︒,3B G'=,5C BB C'==,则CG4=.∵GCB FCDα'∠=∠=,∴AEC DFA∽△△.∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB''==.∴设3DF k=,4FC k=,5CD k=.∵12l l//,∴ACE CAD∠=∠,且90AEC AFD∠=∠=︒.∴AEC DFA∽△△.∴DF AFAE EC=.∴335436k k=,解得3510k=.∴355CD k==2222959595102AF DFAD⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.∴9352355ADCD===【点睛】本题属于相似形综合题,主要考查了重心的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,解直角三角形,旋转的性质以及勾股定理的综合运用,解决问题的关键是依据题意画出图形,根据数形结合的思想进行解答.7.(1)212(02)16(25)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩;(2)220(01)2(1)(13)16(36)1x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩;(3)第2分钟末两颗弹珠速度相差最大,最大相差6米/分钟;(4)存在,理由详见解析【解析】【分析】(1)将(1,2)代入21y ax =,得2a =,从而得到212y x =,再代入2x =求出18y =,即可得到反比例函数解析式,即可得解;(2)当01x ≤≤时,第二颗弹珠未弹出,故第二颗弹珠的解析式为20y =;再分别根据(1)中的结论,即可求出当13x <≤和36x <≤时第二颗弹珠的解析式;(3)由图可知看出,前2分钟,弹珠的速度逐渐增大,则第2分钟末两颗弹珠速度相差最大,分别求出第2分钟末时两颗弹珠的速度,再相减即可的解;(4)第2分钟末到第3分钟末,第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到513米/分钟,第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分,故在此期间必定存在一时刻,两颗弹珠的速度相同.可以根据速度相等时列方程求得时刻.【详解】(1)当02x ≤≤时,将(1,2)代入21y ax =,得2a =,212y x ∴=,∵当2x =时,18y =,∴当25x ≤≤时,116y x=, 1y ∴与x 的函数关系式为212(02)16(25)x x y x x⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩;(2)当01x ≤≤时,第二颗弹珠未弹出,∴第二颗弹珠的解析式为20y =;当13x <≤时,第二颗弹珠的解析式为222(1)y x =-;当36x <≤时,第二颗弹珠的解析式为2161y x =-; ∴2y 与x 的函数关系式为220(01)2(1)(13)16(36)1x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩;(3)由图可知看出,前2分钟,弹珠的速度逐渐增大, ∴第2分钟末两颗弹珠速度相差最大,∵第一颗弹珠的速度为2218222y x =⨯==米/分钟, 第二颗弹珠的速度为2122(1)212y x =⨯==-米/分钟,∴两颗弹珠的速度最大相差8-2=6米/分钟; (4)存在,理由如下:第2分钟末到第3分钟末,第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到513米/分钟, 第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分, 故在此期间必定存在一时刻,两颗弹珠的速度相同. 这个时刻可以通过解方程2162(1)x x=-求得. 【点睛】本题考查了反比例函数和二次函数的应用.解题的关键是从图中得到关键性的信息,明确自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标.8.A解析:(1)135°;(2)①45°,②不发生变化,45°;(3)60°或45° 【解析】 【分析】(1)利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解; (2)①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解; ②证明和推理过程同①的求解过程;(3)由(2)的证明求解思路,不难得出EAF ∠=90°,如果有一个角是另一个角的3倍,所以不确定是哪个角是哪个角的三倍,所以需要分情况讨论;值得注意的是,∠MON=90°,所以求解出的∠ABO 一定要小于90°,注意解得取舍. 【详解】(1)()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒(2)①如图所示。

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