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o
1
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uuu uuu r r 例2 设M是平行四边形ABCD的对角线交点,且 AB=a, AD=b uuur uuur uuuuruuuu r 试用a和b表示向量 MA, MB, MC , MD
解: 由于平行四边形的对角线互相平分所以 b
A D M B C
a
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向量a 上去
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3,数乘向量 设λ是一个数,向量a与λ的乘积λa规定为模是| λ·a|= |λ||a|的向量.当λ>0时, λa的方向与a相同,反之则相反.当 λ=0时, λ·a是零向量. 数乘向量符合下列运算规则:
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a -b a-b
(1)结合律 (2)分配律
λ(µa)=µ(λa)=(µλ)a (λ+µ)a=λa+µa λ(a+b)=λa+λb
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,它的方向可以为任意.
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两个非零向量如果它们的方向相同或相反,称为平行向量, 记为a∥b.由于零向量的方向认为是任意的,因此零向量与 任何向量都平行. 当平行向量的起点放在同一点时,它们的 终点和公共起点在同一直线上,因此.两向量平行又称两向 量共线.
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高 等 数 学 电 子 教 案 二 向 量 的 线 性 运 算
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B D A 例3:试证明三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一半.
uuur uuu uuu uuur uuu uuu uuu r r r r r Q DE = DA + AE, DE = DB + BC + CE E uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r C QDA =−DB, AE =−CE∴2DE = BC,
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两个向量如果在同一条直线上,或在平行直线上,就称这两 个向量共线或平行. 根据数乘向量的规定,可以得到如下的结论: (1) 两个非零向量a和b平行的充分必要条件是a=λb,其中 λ是常数.反之如果两个非零向量a和b平行,则有为a=λb.
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高 等 数 学 电 子 教 案 一.
第一节
向量的概念
向量及其线性运算
在数学上,我们用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示 向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.例如以M1 为 起点,M2为终点的向量,记作 M 1 M 2 M2
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M1
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自由向量,即只研究它的大小和方向, 而不考虑它的始点 位置的向量.在这里凡是大小相等方向相同的向量认为 是相等的,即向量a经过平移和b完全重合.向量a和向量b相等. 记作a=b 向量的大小叫做向量的模,向量a的模,记为|a|. 模等于1的向量叫做单位向量. 模为零的向量叫做零向量,记为0,零向量的起点和终点重合
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四. 利用坐标作向量的线性运算
利用向量的坐标,可得向量的加法,减法以及向量与数的乘法
分配律,有
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a + b = (ax + bx )i + (ay + by ) j + (az + bz )k,
a − b = (ax − bx )i + (ay − by ) j + (az − bz )k,
个单位向量就确定了一个数轴. 设点O及单位向量i确定了数轴 Ox, 对于轴上任一点P,对应一个向量OP, 由于OP∥i,根据结论 (1), 必有唯一的实数x,使OP=xi,并知道OP与实数x一一对应.
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i 0 1
x p
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于是点P

向量OP=xi

实数x
从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系,因此定义实数x 为轴上点P的坐标.由此可见,轴上点P的坐标为x的充分 必要条件是OP=xi i A o 1 x1
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(bx,by,bz)=λ(ax,ay,az), 相当于向量b与a对应的坐标成比例 由此可见,对向量进行加,减及数乘,只需要对向量的各个坐 标分别进行相应的数量运算即可.当向量a≠0时,向量b∥a相 当于b=λa,坐标式为
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bx by bz = = =λ ax a y az
x = 2(2,1, 2) − 3( − 1,1, − 2) = (7, − 1,10)
y = 3(2,1, 2) − 5(−1,1, −2) = (11, −2,16)
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在直线AB上求点M,使 AM = λ MB 解: 例6 已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数λ≠-1,
c a 和结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 由图可知它们满足交换律a+b=b+a
2向量的减法 向量的减法
设a为一向量,与a的模相等而方向相反的向量叫做a的负向量 ,记作-a,由此,我们规定两个向量a与b的差: a-b=a+(-b). , -a, , a b : a-b=a+(-b).特别是 a-a=a+(-a)=0由三角形法则可知道,要从a减去b,只要把-b加到
λ a = (λ ax )i + (λ a y ) j + (λ az )k ,
→ a + b = ( a x + bx , a y + b y , a z + bz ),
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a − b = ( a x − bx , a y − by , a z − bz ),
λ a = (λ a x , λ a y , λ a z )
b c c b b a 三角形法则是一致的,这从上面 可明白地看出.但多个向量相加 a+b+c+d c d
a a 向量加法的平行四边形法则与
时,用三角形法则明显要方便些. 因为相加的向量只要依次 首尾相连.第一个向量的起点为起点, 最后一个向量的终点
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为终点的向量即是所求的和向量.
高 等 数 学 电 子 教 案ຫໍສະໝຸດ 高 等 数 学 电 子 教 案
=xi+yj+zk,称为向量r的坐标分解式, xi,yj,zk称为向量r沿三 个坐标轴的分向量,原点为o(0,0,0). R z
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过空间的一点M分别作x轴y轴z轴的垂直平面,它们和三个 坐标轴的交点为x,y,z.则空间点M和有序数组x,y, z一一对应, x,y,z为点M的坐标,记作M(x,y,z),[op=xi,oQ=yj,oR=zk,r=OM
uuu r uuuu r uuu uuu r r a +b AC = a +b = 2AM →−(a +b) = 2MA∴MA=− 2 uuuu uuu a + b uuu r r r uuuu uuuu b − a uuur uuuu a −b r r r MC =−MA = , BD = −a + b = 2MD∴MD = , MB = −MD = 2 2 2
如果两个向量能表示为a=λb,则它们平行. 所以DE∥BC (1) 两个非零向量a和b平行的充分必要条件是a=λb,其中λ
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是常数.反之如果两个非零向量a和b平行,则必为a=λb.

等 上面的结论(1)是建立数轴的理论根据, 我们知道,给定一个点, 数 学 电 一个方向及单位长度,就确定了一条数轴.由于一个单位 子 教 向量既确定了方向,又确定了单位长度, 因此,给定一个点及一 案

r r r r r a r a λ = r ,Q λ b = λ b = r b = a b b
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且 a0 和a同向,故a0是a的单位向量,于是a=|a|a0
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证明:点A的坐标为u1,即OA的值OA=u1,∴OA=u1e,OB=u2e ∴AB=OB-OA= u2e- u1e=(u2-u1)e e A u1 B u2 u 例1 在u轴上取定一点o作为坐标原点,设A,B是u轴 上坐标依次为u1, u2的两个点,e是与u轴同方向的单位向量,
(3)
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解: 例5 求解以向量为未知元的线性方程组 x-3y=a 3x-2y=b 其中a=(2,1,2),b=(-1,1,-2)
5 x − 3 y = a → 15 x − 9 y = 3 a .
3x − 2y = b →15x −10y = 5b ⇒ y = 3a − 5b, x = 2a − 3b
向量的加,减法和数乘向量的运算叫做向量的线性运算. 1,向量的加法 向量的加法 规定:两个向量的加法运算, 以两向量为平行四边形的边, 对角线为它们的和.(称为平行四边形法). 把两向量的始点和终点相连接,它们的和是以一个向量 的始点为始点,另一个向量的终点为终点的向量.(三角形
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法则)
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右手法则排列,即右手握住z轴,四个手指从x轴的方向转到y 轴的方向时,拇指就指向z轴的正方向.
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下两部分,上面的四个卦限按逆时针分成两个可以确定一
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z y x
个平面,称为坐标面三个坐标面把空间分成八个部分,每一 个部分叫做一个卦限.xoy平面把它们分成上下两部分,上面 的四个卦限按逆时针分成1,2,3,4卦限;下面的四个卦限 按逆时针分成5,6,7,8卦限
AM = OM − OA, MB = OB − OM
B x2 x
如果轴上有两点A,B,它们的坐标分别为x1和x2,
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