d
(2) i

kedges i 1
d
(4) i
其中
d d
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(2) i
(Wp Wk )i
(2) i i
(4) i
( Wp Wk )i
(4)background from
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计算流体力学
南京航空航天大学 航空宇航学院
Slide 2
积分形式的Euler方程
Wd S (Fdy Gdx) 0 （*） t
U W V E
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V U UV U 2 P G 2 F V P UV VH UH
dWk (Qk Dk ) / k dt
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人工耗散
常用的人工耗散是Jameson提出来的二 阶和四阶混合人工耗散
Dk
kedges i 1
9
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有限体积离散
(Fdy Gdx) W S t d

(**)
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10
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有限体积离散 取单元 k 为控制体，应用式(**) dWk Qk / k dt
Qk
kedges i 1
(Fy Gx)
i
xi xb xa yi yb ya
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有限体积离散
U U 2 P F UV UH
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控制体的取法
格心格式 流动参数存储在网格单元中心，单 元本身就是控制体，如图(a)所示； 格点格式 流动参数存储在网格节点上，控制 体由节点周围单元的一部分组成，如图(b)所 示。
描述了在区域上，流体质量，动量 和能量的守恒关系。有限体积方法的 基本思路是把物理空间划分成若干个 任意形状的控制体，在每个控制体上 都应用守恒律(*)，第二项边界积分 （通量）利用两侧控制体的流动参数 近似计算得到，空间离散的精度取决
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x
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超音速流出
t
M 1
uc u, u u c
2ce 2c q n 1 ( qn ) e 1 2ce 2c ( qn ) e qn 1 1 qt qt e s se
Riemann不变量
n
2 u c 1 p s
t
沿特征线
u c 不变
u 不变 u 不变
21

沿特征线 沿特征线
v
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有限体积离散 基于边的通量计算 do i 1, nedges flux function (k , a , b, p ) sum(k ) sum(k ) flux sum( p ) sum( p ) flux end do
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亚音速流出
t
M 1
uc u, u
u c
2ce 2c q n 1 ( qn ) e 1 2c 2c ( qn ) qn 1 1 qt qt e s se
x
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有限体积离散
设 Zi U i yi Vi xi ，则
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Z kedges Z U Py dWk 1 Z V Px dt k i 1 Z H i
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人工耗散
以上建立的中心格式是没有耗散的，任 何误差（如离散误差，截断误差等）都不 会被衰减，会引起解的振荡甚至发散。为 了消除振荡，必须引入人工粘性项 Dk
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人工耗散
2Wk
kedges j 1
W
(2)
j
Wk

1/ 256 k (4) 1/ 32 1/ 2 k (2) 1
(2) i (4) i
k vi (4) (2) max(0, k i )
Pp Pk Pp Pk
是激波探测器
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当地时间步长
tk CFL kedges
i 1
U y V x
i i i
k
i
ci x y
2 i
2 i

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for m 1, 4
( n 1)
其中
R
(m)
Q
(m)
D
(0)
/
19
1 1/ 4, 2 1/3, 3 1/ 2 4 1
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计算结果
Frame 001 28 Oct 2004 NACA 0012 airfoil; transonic flow
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积分形式的Euler方程
b
n
y
s
sn s nx , ny
i
y, x
a
x
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有限体积方法
2
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积分形式的Euler方程
其中
E P /( 1) (U V ) / 2
2 2
H E P
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亚音速流入
t
M 1
uc u, u
u c
2c 2c qn 1 ( qn ) 1 2ce 2c ( qn ) e qn 1 1 qt qt s s
x
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V UV G 2 V P VH
U y V x i Z i Zi U i yi Vi xi
( U 2 P)y UV x U U y V x Py i i UZ Py i
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计算结果
Frame 001 28 Oct 2004 NACA 0012 airfoil; transonic flow
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2 2
i
i U y V x c x y

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时间离散
令
Rk (Qk Dk ) / k
则式（**）可以改写为
有限体积方法的优点之一是其空间离散 直接在物理平面进行，不象有限差分方法那 样存在坐标变换的问题。有限体积方法的另 一个突出优点是非常灵活，不但适用于结构 网格，也同样适用于非结构网格，非常适合 处理具有复杂几何外形物体的流动。另外， 有限体积方法是从守恒型N-S方程出发，而 且在离散过程中一般也能保证质量，动量和 能量的守恒，因此具有求解方程弱解形式的 能力，可以准确捕捉激波等间断解。
x
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计算结果
Frame 001 28 Oct 2004 NACA 0012 airfoil; transonic flow
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(a)
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(b)
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单元中心和边
b p k i
a
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有限体积方法
于通量计算的精度。这种方法最早 是1971年由McDonald最先提出来 的，当时是用来求解二维无粘流动。