2
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对
2
称轴是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x
··· 3
4
7.5 5 y 1 x2 6x 21 ··· 2
5 10 15 20 25 30 l
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l


b 2a


30
2 1

15
时，
S有最大值

225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax 2 bx c 的顶点是最
5
顶点坐标为 4,5
对称轴x 4
当 x 4时 ， y最小值＝ -5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
利用表格归纳各种形式二次函数的性质：
二次函数
y ax2
开口 顶点坐标 方向
对称轴
最大（小）值 增减性
y ax2 k
y a(x h)2
y a(x h)2 k
配方法转化
y ax2 bx c
P41习题22.1：6，7
y ax2 bx c a x b 2 4ac b2
y
2a 4a
y ax2 bx c
如果a>0，当x<
b 2a
时，y随x的增大而减小，
a>0
当x> b 时，y随x的增大而增大；
2a
O
x
x b 2a
如果a<0，当x<
b 2a
时，y随x的增大而增大，
y
y 1 x2 6x 21
10
2
5
O
5
10 x
5
6
7
8
9 ···
3.5 3 3.5 5 7.5 ···
先画出二次函数
y

1 2
x2
的
图像，然后把这个图像向
右平移6个单位长度，再向
上平移3个单位长度，得到
二次函数 y 1 x2 6x 21 2
观察归纳
从二次函数 y 1 x2 6x 21 的图像可以看出：
y ax2 k
y a(x h)2
y a(x h)2 k y ax2 bx c
各种形式二次函数图像的位置关系：
K>0，向上平移k个单位 K<0，向下平移-k个单位
h>0，向右平移h个单位 h<0，向左平移-h个单位
y ax2
先左右平移， 再上下平移
或者先上下平移， 再左右平移
探究
我们来画 y 1 x2 6x 21 的图象，并讨论一般地怎样
2
画二次函数 y ax2 bx ca 0 的图象．
我们知道，像 y ax h2 k 这样的函数的图像和性
质，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函 数 y 1 x2 6x 21 也能化成这样的形式吗？
a x
b
2

4ac

b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是
顶点坐标是


b 2a
,
4ac 4a
b2

x b 2a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
配方
y

a

x

b 2a
2


4ac 4a
b2
另 b h, 4ac b2 ＝k 所以，有y=a(x－h)2+k
2a
4a
因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移
得到.
当h>0时，向左平移h个单位，当h<0时，向右平移|h| 个单位，
当k>0时，向上平移k个单位，当k<0时，向下平移|k| 个单位，
2
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
y
当x<6时，y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
5
y 1 x2 6x 2
O
x5 6 10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)的顶点与对称轴
y ax2 bx c
就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．
例如，y=2x2－8x＋12,通过配方得y=2(x－2)2＋4就 可以通过平移y=2x2得到，如演示所示
把抛物线y=2x2先向右平移2个单位， 再向上平移4个单位就得到抛物线 y=2x2－8x＋12.
8
6
4
2
－4 －2
24
从二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像可以看出：
低（高）点，所以当 x b 时，二次函数y ax 2 bx c
2a
有最小（大）值 4ac b2
4a
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x
为何值时y的值最小（大）？
（1） y 3x2 2x
（2） y x2 2x
（3）y 2x2 8x 8
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为 2,0
对称轴x 2
当 x 2时 ， y最 大 值＝0
（4）
y

1 2
x2

4x

3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
x顶


4 2 0.5

4
4 0.5 3 42
y顶
4 0.5
y ax2 bx c
第一课时
1.二次函数 y ax2的图像和性质：
2.二次函数y ax2 k 的图像和性质： 3.抛物线 y a(x h)2的图像和性质： 4.抛物线y a(x h)2 k的图像和性质： 5.抛物线 y ax2 k 、y a(x h)2 、y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2 有怎样的关系？
y
当x> b 时，y随x的增大而减小.
2a
y ax2 bx
a<0
O
x
x b 2a
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的 变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值．
矩形场地的周长是60m，一边长为l， s
则另一边长为 30 l m ，场地的面积
S＝l ( 30－l )
200
即 S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 ) 100
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线 的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图 O
象的最高点，也就是说，当l取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值．由公式可求
出顶点的横坐标．
x顶


2
2 1

1
22 y顶 4 1 1
顶 点 坐 标 为 1,1
对称轴x 1
当 x 1时 ， y最 大 值＝1
（3）y 2x2 8x 8
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
8
x顶 2 2 2
（4）
y

1 2
x2

4x

3
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶


2 23


1 3
y顶

22 43


1 3

顶
点
坐
标
为


1 3
,

1 3

对称轴x 1
3
当x


1 3
时
， y最小值＝ -
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下