l
μ0
S
l
互感系数计算举例
M Ψ12 I2


N1 N 2 l2
lS
n1n2V
③互感 M与自感L1 ，L2 的关系。
L1 n12V
L2 n22V
M L1L2
在此例中，线圈1的磁通全部通过线圈2，称为无 磁漏。
在一般情况下： M K L1L2
称K 为耦合系数 0 < K <1
自感
2、自感电动势：
dΦ
L N dt
d (NΦ ) dΨ
dt
dt
d (LI ) L dI I dL
dt
dt dt
若回路几何形状、尺寸不变，周围无铁磁性物质，则：
dL 0 dt
L

L
dI dt
自感
【讨论】：1、 L 的定义：可用下两式之一定义
H 2r NI
I
H NI 2r
B NI 2r
dm

B dS
NI 2r
hdr
R2 R1
h
r dr
dm

B dS
NI 2r
hdr
m
dm

NIh பைடு நூலகம்
R2 dr R1 r

NIh ln(
R2
)
2
R1


Nm

N 2 Ih
Lo

L l

2
ln(
R2 R1
)
R1
R2
I
I
l
rdr
§12-4 自感和互感
二、互感
互感现象——两个独立回路，由于一回路电流发生变化，
在另一回路中产生感应电动势的现象。
1、 互感系数(M)
Φ21
设线圈1中通有电流 I1
若两回路几何形状、尺寸及相对 位置不变，周围无铁磁性物质，则第 二个线圈的磁通量为：
B 0 r R1 , r R2
R1
R2
I
I
l
dΦm

B dS
Il 2r
dr
rdr
自感系数计算举例
Φm
B
dS

Il
R2 dr
2 R1 r
Il ln( R2 ) 2 R1
L Φ l ln( R2 ) I 2 R1
单位长度的自感为：
电动势方向相反，所以
a
a' b b'
总感应电动势为：


L1
dI dt

L2
dI dt
2M
dI dt

(L1

L2

2M
)
dI dt
等效自感电动势为： L dI
dt
两式比较得，等效自感： L = L1 + L2 - 2M
§12-5 磁场的能量
一、磁能的产生和存储过程
当接通电路时，线圈中产生了磁场，也就有 了磁场能。线圈由无电到有电的过程，就是电能 转换为磁场能的过程。
N1Φ12 MI2 Ψ12
I1
N2Φ21 MI1 Ψ21
Φ 12
Φ 21
I2
2、互感电动势：
21


dΨ 21 dt

M
dI1 dt
或12

dΨ12 dt

M
dI 2 dt
互感
【讨论】
1、 M 的定义：可用下两式之一定义
Φ21
(1) Ψ2 M I1
(2)
1

M
(1) Ψ LI
(2) L dI
dt
L L IdI
dt
L 的意义：若I = 1A，则 L = Ψ
自感系数在数值上等于回路中通过单位电流 时，通过自身回路所包围面积的磁通链数。
★ 自感系数是一个与线圈大小、形状及匝数有
关的量，与线圈内通有的电流 I无关，一般由实 验确定。
自感
I1 I1 B1 Φ2 Ψ2 M
互感系数计算举例
例3. 如图所示,在磁导率为
的均匀无限大磁介质中,一无
限长直载流导线与矩形线圈
一边相距为a，线圈共N匝,
其尺寸见图示。
I
求它们的互感系数。
a
dr
l b
解: 设直导线中通有自下而上的电流I,它通过矩形 线圈的磁通链数为


Nm
N
B • dS
半径为R1 和R2 两同轴圆筒状导体组成， 内外圆筒上分别流有大小相等，方向相反
的电流I。
求：长为 l 的一段电缆内储存的磁能。
解：H I
2r
Wm

V wmdV

1 H 2dV
V2
R2 1 ( I )2 2rldr
2 R1 2r

I 2l 4
ln( R2
/
R1 )
R2 R1
I l
I
r dr
dV 2rldr
磁场的能量
磁场能量公式给出了计算自感的另一种方法：
因为
Wm

1 2
LI 2

I 2l 4
ln( R2
/
R1 )
所以
L

2Wm I2

l 2
ln( R2
/ R1)
三、电磁场的能量
w

we

wm

1 2
(E D
BH)
W We Wm
s
ab I
NIl a b
N a
ldr
ln
2r
2
a
dr
I
l
由互感系数定义可得互感为:
M



Nl ln a b
I 2
a
ab
★ 互感系数仅取决于两回路的形状,
相对位置,磁介质的磁导率．
互感系数计算举例
例4. 两共轴密绕长直螺线管，C1 和 C2 ， C1 为原线圈， 匝数为N1 ，C2 为副线圈，匝数为N2 ，两者长均为l , 线圈面
dI 2 dt
M 2
I1
I1
M 1 1
dI 2
dt
I2
2
互感系数：在数值上等于当第二个回路电流变
化率为每秒一安培时，在第一个回路所产生的互感电 动势的大小。
2、 M 的计算：可用上两式之一计算,一般用（1）式。
互感
3、 互感系数和两回路的几何形状、尺寸，它们的 相对位置，以及周围介质的磁导率有关。
We

1 CU 2
2
1 S
2d
(Ed )2

1 E 2 Sd
2
电场能量密度 we

1 E 2
2

1 2
ED
物理意义 电场是一种物质，它具有能量.
电场空间所存储的能量
We
V wedV

1 E 2dV
V2


L1
dI dt

L2
dI dt
2M
dI dt

(L1

L2

2M
)
dI dt
等效自感电动势为： L dI
dt
两式比较得，等效自感： L = L1 + L2 + 2M
互感系数计算举例
(2) a' 与 b'相联
两线圈的磁场方向
相反，彼此减弱，两线
圈的自感电动势方向相
同，互感电动势与自感
I1
1
I2
2
Φ21 I1 Φ21 M21I1
互感
同理，若线圈2中通有电流 I2
若两回路几何形状、尺寸
及相对位置不变，周围无铁磁 性物质，则第一个线圈的磁通 量为：
I1 I2
Φ 12
Φ12 I2 Φ12 M12I2
互感
实验和理论都可以证明：M 12 = M 21
若两线圈的匝数分别为N1 ,N2则有：
2、 L的计算：可用上两式之一计算,一般由 L
计算。
I
3、 L 的大小反映阻碍电流变化的能力，L 是电磁 惯性的一种表现。
4、利弊 1) 应用：镇流器，扼（抑）流圈，谐振电路，···
2) 害处：上电迟延，断电影响，分布参数，···
自感
求自感电动势的关键，在于知道线圈的自感系数大小， 一般通过实验测得;规则线圈也可以计算得出。
积均为S。管内介质的磁导率为μ，求①两螺线管的自感L1 和
L2 ；② 互感 M；③互感 M与自感L1 ，L2 的关系。
解：②计算互感系数
N1
I2 B2 Φ12 Ψ12
B2
Φ12


n2 I 2
B dS

B2S
N l

2

I2
N l
2
N
I2S
2
Ψ12

N1Φ12

N1N2 I2S
L
R
BATTERY
ε 电池
磁场的能量
分析开关合上后的一
段时间内，电路中的电流
L
增长过程。
R
由欧姆定律得：
L dI IR
dt
BATTERY
ε 电池
I
解该微分方程得：
I


Rt
(1 e L )
R
Rt
I0 (1 e L )
I0