章末质量评估(三)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝( )． A.2＋64 B.2－64 C.6－24 D.24解析 sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76° ＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14° ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝2＋64. 答案 A2．若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( )． A ．－65 B ．－45 C.45 D.65解析 ∵tan θ＝13，∴原式＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝1210＝65. 答案 D3．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )． A.3365 B.6365 C ．－3365 D ．－6365 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， 由sin β＝－513得cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.答案 A4．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )． A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝2cos 213°－1＝cos 26°＝sin 64°， c ＝32＝sin 60°，∴c <a <b . 答案 A5．在△ABC 中，若0<tan A tan B <1，则△ABC 是( )． A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析 ∵0<tan A tan B <1，∴0<A ，B <π2， 又tan A tan B ＝sin A cos A ·sin Bcos B <1，∴cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <π2，∴C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形． 答案 A6．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247 D ．－247解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案 D7．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为( )． A.π4 B.π2 C ．π D ．2π解析 y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 2－122＋34＝18cos 4x ＋78.∴T ＝π2. 答案 B8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )．A.1925B.1625C.1425D.725解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.答案 D9．(2012·日照高一检测)当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( )．A ．1B ．±1 C. 3 D ．－1 解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝34(sin 2x ＋cos 2x )＋14sin x cos x ＋34sin x cos x ＝34＋12sin 2x .当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24，此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.答案 A10．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )． A ．向左平移π2个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向右平移π2个单位 D ．向左平移π4个单位解析 令y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，则y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2， ∴y ＝sin x ＋cos x 错误!y ＝sin x －cos x . 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．化简2＋cos 2－sin 21的结果是________． 解析 原式＝1＋cos 2＋(1－sin 21)＝2cos 21＋cos 21＝3|cos 1|.又0<1<π2，∴cos 1>0， ∴原式＝3cos 1. 答案3cos 112．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →， 它们的夹角为120°.如图，点C 在以O 为圆心 的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)， B (cos 120°，sin 120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°， ∴30°≤α＋30°≤150°∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取得最大值2. 答案 213．已知sin x －cos x ＝sin x cos x ，则sin 2x ＝________. 解析 ∵sin x －cos x ＝sin x cos x ， ∴(sin x －cos x )2＝(sin x cos x )2 1－2sin x cos x ＝(sin x cos x )2， ∴令t ＝sin x cos x ，则1－2t ＝t 2. 即t 2＋2t －1＝0， ∴t ＝－2±222＝－1±2.又∵t ＝sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，∴t ＝2－1，∴sin 2x ＝22－2.答案 22－214．(2012·长沙高一检测)关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．答案 ①②③三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，求sin θ2、cos θ2、tan θ2的值．解 ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. 由cos θ＝1－2sin 2θ2， 有sin θ2＝－1－cos θ2＝－ 1＋352＝－255.又cos θ＝2cos 2θ2－1， 有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2. 16．(10分)求证：(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)sin 2x＝tan x 2. 证明 左式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2sin 2x＝4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2sin 2x ＝4sin 2x2cos xsin 2x＝4sin 2x2cos x 2sin x cos x ＝2sin 2x 22sin x 2cos x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x2. 17．(10分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝24，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4x 的值．解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝24，所以cos 2x ＝22.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x <0，所以sin 2x ＝－22.所以sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×22＝－1.18．(12分)已知sin α＝13，cos β＝－23，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 因为sin α＝13，cos β＝－23，α、β均为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，sin β＝1－cos 2β＝53.故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2－2109，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2＋2109.19．(12分)设向量a ＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))， b ＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.(1)求tan α；(2)求2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.解 (1)a ＋b ＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.∴2cos αcos β＝45，2sin αcos β＝35，∴tan α＝34.(2)2cos2α2－3sin α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos α－3sin αsin α＋cos α＝1－3tan α1＋tan α＝－57.。