本
不
等
式 根式形式
定
理
分式形式
倒数形式
a 2 b 2 2 ab
a2 b2
1 (a b ) 2 2
ab
a
b
2
2
a2 b2 ab
2
a b 2
a
b
ab 2 (a 2 b 2 )
b a 2 ( a , b 同号）
a
b
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
a 0
a 1 2 a
二.知识要点
1.两实数大小的比较 2.不等式的性质
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
对称性a b b a
传递性a 加 法 单 调
b,b c a b c 性a b a c b
移项法则a b c a c b
c同 向 不 等
等式
三角不等式
不等式知识点
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一个美丽富饶的地方，是一个福地，镇上的人们简直就是生活在天堂里了！居住在小镇上的人们也会油然而生出来无比的优越感，自认 为高人一等。这个美丽的小镇被这一方的人们亲切地誉为“三六九镇”！至于为什么会得到这么一个雅号，那还得从“三六九”集市日 说起了河边之战|自从穿越到古代，我已经晕死过去两次了，第一次是在禁地被某人敲晕，这一次倒好，是自己眼前一黑晕过去的，但是 有一个共同点，那就是每次醒来之后并没有回到现代，而是还留在傅府里。不过这一次醒来之后的地点就真的出乎预料了，我被关在一 个牢房里，然后，我身边的是水胖。水胖一脸憔悴，我更是云里雾里：这是什么地方，我们为啥会在这里，我们不应该是在丑妇人的专 用饭厅那里伺候她们吃饭的吗？水胖见我一脸疑惑，还是勉强打起精神来和我说现状的来龙去脉。从水胖口中得知，我们已经被关了一 天一夜了，那是因为我在前天少奶奶们聚会的宴席上，打翻了大锅菜而至。当时的情形可以说是千钧一发，我是失去了意识倒了下去， 并没有接住大锅菜，而里面滚烫的菜洒了一部分出来而落到了二少爷第三位妻子曾氏的腿上，幸好最后的大锅被琳夫人千钧一发的接住 了，才是伤害降得最低。但是这种事情一旦发生，就必定会追究责任。气坏了的曾氏和丑妇人想当场把我打死，好在仁玉为我下跪求情， 并且答应了她们一些不知道什么条件，才让我得以留住性命，这倒好，仁玉辛辛苦苦建立起来的一点点威信也被我弄没了。最后主子们 对我的惩罚就是把我关押在傅家最北边的地牢里，而且并没有说何时才能把我放出来。而水胖则是连带责任也被关了进来。哎，实在是 我害了水胖啊，看着水胖面黄肌瘦的样子，想必这几天在牢里饭菜都吃不饱了吧？没想到才来古代不满半个月，就开始坐牢了，而且还 是别人家的私家牢房，最起码也给我坐一个天牢或者更高级的牢房吧。正当我发愁的时候，从笼子外面传来了脚步声。等人影逐渐清晰 的时候，才发现来者竟是琳夫人！琳夫人手里拿着一大盒子，但是隔着盒子也能闻出来是烧鸡腿的味道。水胖此时也直流口水，身为家 丁的他，要数最近一次吃烧鸡腿的日子，恐怖要追溯到还没卖进来做家丁的时候了吧。果不其然，琳夫人将盒子交给了水胖，并让水胖 去角落用餐，水胖似乎也知道琳夫人的一些事情，这时候就很机灵的走到了牢房最角落，但是水胖接过盒子后离开给了我一个奇怪的眼 神和神情，这让我既感到疑惑也触发了我的不详第六感觉。这时候，只剩下琳夫人和我了。琳夫人先开口，“你是新来的家丁，叫傅莲 对吧。”“是的，夫人”这几日我已经习惯作为一个家丁去回答领导的问话了。“你是个聪明人，那我就直奔主题了”琳夫人讲话豪爽，
式
相
加a c
b d
a
c
b
d
乘法单
调
性a c
b
o
ac
bc,
同
向
正
数不等
式
相
乘a c
b d
0 0
ac
乘
方
法
则anbN0
an
bn
开 倒
方 数
法则 n
法 则a
a
b0 N且n 1 b0 1
a
n a 1 ,a
b
n
b
b
0
bd 1
a
0
1 b
3. 整式形式
基
（9）数学归纳法：
7.绝对值的定义 8.绝对值的性质
a,(a 0)
a
0, (a
0)
a, (a 0)
a 0
a
b
a
b
a
b
a b
a
n
an
a b ab a b
a1
a2
an
a1
a2
an
9.绝对值的解法
x a,(a 0) a x a
x
a, (a
0)
x
a, 或x
a
公式法
10.解不等式 (1)一元一次不等式
ax
b(a
x 0)
x
b
a b
(a (a
0) 0)
a
(2)一元二次不等式：
0,xx1,xx2(x1x2)
a2xb xc0(a0)
0,xb 2a
0,xR
(3)高次不等式： (x a 1 )x ( a 2 ) (x a n ) 0
a1a2 an
f(x) g(x) f(x) g(x)
a b ab
f(x) g(x),或f(x) g(x) f(x) g(x)
ab
g(x)
a1
a2
an
a1
a2
an
平方法f(x) g(x) f 2 (x) g2 (x)
划分区域讨论法：适于 合两个或两个以上绝值 对号的不等式
利用绝对值的几何意义:
fg((fxx())x) 00
g(x) (0
a
1)
f(x) g(x)
11.不等式的分类（按所连接的解析式类型分类）
一次不等式
整式不等
式
二次
不等
式
不 等 式
代数不等式
有理不等式 无理不等式
分式不等
式
高次不等式
绝对值不等式
指数不等式
超
越不等式
对
数不
a 1 2 a
4.公式
a2b 2 2
ab 2
ab a 1 2b 1
5.重要结论
a 3 b 3 c 3 3 a( b a ,b ,c c , 0 )
a b c3 3ab (a ,b c ,c ,0 )
6.证明不等式的主要方法 •（1）比较法：
作 作商 差 A BA 法 法 1B (B00 ) AA BB
不等式知识要点
一.知识网络
不等式的基本性质
不等式性质
绝对值不等式的基本性质
重要不等式：a2 b2 2ab
定理：ab2a(b a0,b0)
不
等
证明不等式主要方法
其它重要方法
式
比综分 较合析 法法法
反放 判
证缩
别 式
法法 法
数 学
构 造
换
归 函元
纳 法
数 法
法
解不等式 不等式的应用
整式不等式 可化为整式不等式的不等式
0 (x
)
g(x) 0
f (x ) g(x ) f (x) 0
f (x ) g 2 (x )
(6)指数不等式：
af(x)ag(x)
f(x)g(x)(,a1) f(x)g(x)(,0a1)
(7)对数不等式
f(x) 0
g(x) 0
(a 1)
lo gaf (x)
logag(x)
•（2）综合法：由因导果
•（3）分析法：执果索因 •（4）反证法：正难则反 •（5）构造法：构造函数或不等式证明不等式
•（6）放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的
（7）判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化 为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系 求解问题.
（8）换元法：三角换元，增量换元 ， 均置换元.
表 解 法 数轴标根法
(4)分式不等式：
f (x) g(x)
0
f (x)
g(x)
0
f (x) g(x)
0
f(x) g(x) g(x) 0
0
(5)无理不等式
g(x) 0
f(x)
g(x)
f
(x
)
g(x)
f(x)
g(x)
g(x)
f
(
x
)
0 0
或
f
(
g x
( )
x)
g2