A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)<f(a)
C．f(a2＋a)<f(a)
D．f(a2＋1)<f(a2)
答案 D
解析 因为 f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数， 且 a2＋1>a2， 所以 f(a2＋1)<f(a2)．故选 D.
b 5．已知函数 y＝ax 和 y＝－x在(0，＋∞)上都是减函数，则函数 f(x)＝bx＋a 在 R 上是
数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用
“和”来表示；在单调区间 D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
1 跟踪训练 2 (1)函数 y＝x－1的单调递减区间是________．
答案 (－∞，1)，(1，＋∞)
1
1
解析 方法一 y＝x－1的图象可由 y＝x的图象向右平移一个单位得到，如图，
ax1(x2－1)－ax2(x1－1) ＝ (x1－1)(x2－1)
a(x2－x1) ＝(x1－1)(x2－1) 因为 x1，x2∈(－1,1)且 x1<x2， 所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
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所以(x1－x21－)(xx21－1)>0， 当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以 f(x)在(－1,1)上单调递减， 当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在(－1,1)上单调递增． 综上，当 a＝0 时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性； 当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上单调递减； 当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上单调递增． 反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
－1≤x≤1， 解析 由题设得x<12，
1 解得－1≤x<2.
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1．知识清单： (1)增函数、减函数的定义． (2)函数的单调区间． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：函数的单调区间不能用并集．
如图是定义在区间[－5,5]上的函数 y＝f(x)，则下列关于函数 f(x)的说法错误的是 ()
1 ∴函数 f(x)＝x2在(0，＋∞)上是减函数． 二、求单调区间并判断单调性 例 2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数 y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间， 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中 y＝f(x)在区间[－5， －2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数． (2)作出函数 f(x)＝－(x－x－2)32＋，3x≤，1x>，1 的图象，并指出函数 f(x)的单调区间． 解 f(x)＝－(x－x－2)32＋，3x≤，1x>，1 的图象如图所示，
一、函数单调性的判定与证明 ax
例 1 根据定义，研究函数 f(x)＝x－1在 x∈(－1,1)上的单调性． 解 当 a＝0 时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性， 当 a≠0 时，设 x1，x2 为(－1,1)上的任意两个数，且 x1<x2， 所以 f(x1)－f(x2)＝x1a－x11－x2a－x21
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________． 答案 23，＋∞ 解析 因为 y＝f(x)的定义域为 R，且为增函数，
2 f(1－a)<f(2a－1)，所以 1－a<2a－1，即 a>3， 所以所求 a 的取值范围是23，＋∞. 延伸探究 在本例(2)中，若将定义域 R 改为(－1,1)，其他条件不变，则 a 的范围又是什么？
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上没有单调性 答案 C
解析 单调区间不能用“∪”连接．
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
1 C．y＝x
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3．函数 y＝|x＋2|在区间[－3,0]上( )
A．递减
B．递增
C．先减后增
D．先增后减
答案 C
解析 因为 y＝|x＋2|＝x－＋x2－，2x，≥x－<－2，2.
作出 y＝|x＋2|的图象，如图所示，
易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数． 4．若 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2 的单调增区间为[3，＋∞)，则 a 的值是________． 答案 －1 解析 ∵f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2 的单调增区间为[2－a，＋∞)， ∴2－a＝3，∴a＝－1. 5．已知函数 f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足 f(x)<f 12的实数 x 的取值范 围为________． 答案 －1，12
D．y＝－|x＋1|
答案 B
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解析 y＝x2＋1 在(0,2)上是增函数．
3．若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有( )
1 A．k>2
1 B．k>－2
1 C．k<2
1 D．k<－2
答案 C
4．若函数 f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 1
方法二 函数 f(x)＝x－1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设 x1，x2∈(－∞，1)，且 x1<x2，则
1
1
f(x1)－f(x2)＝x1－1－x2－1
＝(x1－x12－)(xx21－1).
因为 x1<x2<1，
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所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 所以函数 f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数 f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． (2)函数 y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
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由图可知，函数 f(x)＝－(x－x－2)32＋，3x≤，1x>，1 的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递 增区间为[2，＋∞)． 反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函
高一数学复习知识点讲解专题训练
函数的单调性
学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单 调性.3.会用定义证明函数的单调性．
知识点一 增函数与减函数的定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上单调 递增，特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上单调 递减，特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意 x1，x2∈D”改为“存在 x1，x2∈D”？ 答案 (1)不是；(2)不能． 知识点二 函数的单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义
1 ∴函数 f(x)＝x2在(－∞，0)上是增函数．
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对于任意的 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝(x2－xx12)1(xx222＋x1). ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 解 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递 减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 三、单调性的应用 例 3 (1)已知函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 在区间(－∞，4]上是减函数，则实数 a 的取 值范围为________． 答案 (－∞，－3] 解析 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 的开口方向向上，对称轴为 x＝1－a， ∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 在区间(－∞，4]上是减函数， ∴4≤1－a， ∴a≤－3， ∴a 的取值范围是(－∞，－3]． (2)若函数 y＝f(x)的定义域为 R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是
1 跟踪训练 1 求证：函数 f(x)＝x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 证明 对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝x121－x122＝x22x－21x22x21＝(x2－xx121)x(x222＋x1). ∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．