1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减•如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数•注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件•2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.一般地，当函数y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。
)是极大(小)值的方法是：(1)如果在X。
附近的左侧f'(x) 0，右侧f'(x)：：：，那么f(X0)是极大值.(2)如果在X o附近的左侧f'(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值.注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间(a,b )内，如果f (x) •0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那么函数y二f(x)在这个区间内单调递减•如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数•注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件•例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y •7 = 0 •(I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间•【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上•函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0.3【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围•【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得：f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解a【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x).x(I)求函数F(x)的单调区间；1 (n)若以函数y = F (x)(x •(0,3］)图像上任意一点P(x°, y°)为切点的切线的斜率k 恒成立，求实数a的最小值【课堂练习】3 21. ( B) 已知函数f(x)=ax bx的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x 9y = 0垂直.(I)求实数a,b的值;(n)若函数f (x)在区间［m,m上单调递增，求m的取值范围1 2 1 22.( B类)设函数g(x) x -ax -bx(a,b・R)，在其图象上一点P (x, y)处的切线的斜率记为3 2f(x).(1)若方程f(x) =0有两个实根分别为-2和4,求f (x)的表达式;(2)若g(x)在区间［-1,3］上是单调递减函数，求a2b2的最小值f(x) n^x2 -mln x (m -1)x , m R •当m - 0 时，讨论函数3. (A类)已知函数 f (x)的单调2例一［解析】(I)由f(x)的图象经过P(0, 2)，知d =2,32所以 f (x) = x bx cx 2 .2所以 f (x) =3x 2bx c .由在M(-1, f(-1))处的切线方程是 6x-y ・7=0,知 _6 _ f (_1) 7 =0，即 f (_1) =1, f '(—1) =6 •即2b -c = 3,解得 b = c= —3. b-c = 0.k.故所求的解析式是 f(x)=x -3x -3x 2 .2(n)因为 f (x) =3x -6x -3 ,令 3x 2-6x -3 =0，即 x 2-2x -1=0 , 解得 ％ =1 -「2 , x 2 .2 . 当 x _1 - 2 或 x _12 时，f'(x) 一。
,当 1—Ji^x£1 + Ji 时，f '(X)兰 0,故f(x) =x 3 -3x 2-3x 在(一〜1一'三］内是增函数，在［1- ■ 21•2］内是减函数，在［i 、2, V 内是增函数.2例二【解析】f(x)=3ax ，1又f (x)在区间［—1,1］上单调递增2 1 _-f(x)=3ax *1—0在［—1,1］上恒成立 即a 2在x ［ — 1,1］时恒成立.3x11-a故a 的取值范围为［——，；］33例三解析】(I ) F x = f x ］、g x in x 旦 x 0 , F' x =丄-弓二x2ax 0 x x x x••• a 0，由 F' x • 0= ［a, •：：，二 F x 在 a, •：：上单调递增.由F' x ：：： 0= x “0,a ，二F x 在0, a 上单调递减.••• F x 的单调递减区间为 0,a ，单调递增区间为 a,匸：.所以3一加＜皿 l_1+b_c +2 =1.2 .= 3ax 2bx , • f (1) =3a 2b1由已知条件知f (1) () - -1即3a 2b =99& 1 a + b = 4 /口 f a = 1•••解得：3a 2b =9J b = 3(n)由(I )知32.2f(x)=x 3x , f (x) =3x 6x2令 f (x) =3x 6x _ 0 则 x 乞 -2或 x _ 0 •••函数f(x)在区间［m,m ・1］上单调递增 • ［m,m 1］(_二，—2］』0, •：：)•- m _ 0或 m 1 _ -2 即 m _ 0或 m _ -32,解析】(1 )根据导数的几何意义知f (x) = g'(x)=x 2+ax —b由已知-2、4是方程x 2■ ax - b = 0的两个实根一 2 + 4 = —aa = -2 2由韦达定理，丿，f(x) =x 2—2x —8厂2乂4 =七 b=8(2) g(x)在区间［—1, 3］上是单调递减函数，所以在 ［—1, 3］区间上恒有f (x) =g (x) = x 2 ax - b _ 0,即f (x) = x 2 ax - b _ 0在［-1,3］恒成立 f (一1) ^0"a + b >1这只需满足J (U 即可也即丿a」(3)兰 0 Jb —3aZ9a +b 31而a 2+b 2可视为平面区域丿内的点到原点距离的平 方，b —3a 芒9其中点(一2, 3)距离原点最近，a = _2所以当』时,a 2 +b 2有最小值13b=32m x (m-1)x-m (x-1)(x m)f (x)二 x (m T)二x -a(II ) F ' x 20 ：： x 二x 0 _a k = F ' X 。
二 02 Xo(1 2 )0 ：：： x 乞3恒成立二a x^ x 0I 2丿1 2当x o =1时，X ： x o 取得最大值 2 1•・a min =—课堂练习;【解析】(I) f(x)二ax bxM (1,4) a + b = 4的图象经过点••••- f (x) 3，【解析】x(1)当-1 ：：：m^0时，若0,-m 时，f (x)・0, f(x)为增函数;xw 「m,1 时，f (x) ::: 0, f (x)为减函数； x 「1,：：时，f (x) . 0, f (x)为增函数.(2)当 m 乞-1 时，x 「0,1 时，f (x) • 0, f (x)为增函数;x 三门，一m 时，f (x) :: 0, f (x)为减函数； x 三［• m, •::时，f (x) . 0, f (x)为增函数知识点二：导数与函数的极值最值方法归纳：1. 求函数的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数 f'(x).⑵求方程f'(X)= 0的根.⑶ 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x)在这个根处无极值.2. 求函数在［a,b ］上最值的步骤：(1)求出f (x)在(a,b)上的极值.(2) 求出端点函数值 f(a), f(b).(3) 比较极值和端点值，确定最大值或最小值注:可导函数y =f(x)在x = x 。
处取得极值是f '(X 。
)=的充分不必要条件.1JY【例4】(A 类)若函数f(x)二mcosx sin2x 在x处取得极值,则m 二—._24【解题思路】若在 X °附近的左侧f(X)• 0 ,右侧f(X)：：： 0，且f(X 0)= 0 ,那么f (x 0 )是f (x)的极大 值；若在X 。
附近的左侧f '(x) <0，右侧f '(x) 0,且f '(x 。
)=0,那么f(x 。
)是f (x)的极小值.'(JT JT JT【解析】因为 f (x)可导，且 f (x) = -msin x ■ cos2x ,所以 f ( ) = -msin cos 0 ,解得 m = 0.44 21n验证当m =0时，函数f (x) sin 2x 在x处取得极大值.24【注】 若f (X)是可导函数，注意 「(X 0)=0是X 0为函数f (X)极值点的必要条件.要确定极值点还需在 X 0左右判断单调性.［例5】(B类)已知函数f X = x-k e，(I )求f x的单调区间；(II )求f x在区间0,11上的最小值.【解析】(I ) ，令f&rOhXuk-1；所以fx 在(_：： ,k 一1)上递减，在(k -1，：：)上递增；(II )当k-1乞°,即k 辽1时，函数f x在区间［0,11上递增，所以f (x)m in = f (°) = -k ；当0 ::: k-仁1即1 ：：：k 乞2时，由(|)知，函数f x在区间Qk-1〕上递减，(k_1,1］上递增，所 以f(x)mi^f (k-1^ ~e~ ；当k -1 1即k •2时，函数f x在区间l0, 1上递减，所以f(X)min =f(1)=(1—“e .【例6】(B 类)设x",x =2是f x j ；=：al nx • bx • x 函数的两个极值点.(1) 试确定常数a 和b 的值； (2)试判断x =1，^2是函数fx 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】a(1) f x2bx 1,x由已知得：「化丁―f (2) = 0［尹+413十1=0(2) X 变化时.f (x), f (x)的变化情况如表:X(0，1)1 (1, 2) 2f ，( x )+f (x )极小值极大值4_2| n2故在X 刊处，函数fX 取极小值6 ；在X =2处，函数fX 取得极大值3_3 n2 3 1 64.(A 类)设1 1 2f (x) x 3 x 2 2 ax(—,：：)32.若f (x)在3上存在单调递增区间，求a的取值范围5.(B 类)设f(x) “nx，g(x^ f(x) f (x)(1)求g (x)的单调区间和最小值;g(-)(2)讨论g(x)与x的大小关系;3 26. (C类)已知函数f(x)=x +3ax 十(3—6a)x+12a—4(a^ R)(i)证明：曲线y = f (x)在x = 0的切线过点(2,2)；2(—^°)课堂练习；4，【解析】f(x)在3’上存在单调递增区间, 2即存在某个子区间(m，n) (3‘一)使得f (x) 0' 2 1 2 1f (x) - -x x 2a - -(x ) 2a由 2 4 ，0 a 一1解得9,1a > _—所以，当9时,1 * X —1f(x)=l nx,g(x)=l nx+— g(x)=^^, g7x)_5,解】(1)由题设知x ,•••x 令g(x)-0得x=1,当X €( 0, 1)时，g(x) V 0, g(x)是减函数，故(0, 1)是g(x)的单调减区间•当x€( 1, +〜时，g (x)>0,g(x)是增函数，故(1, +〜是g(x)的单调递增区间，因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1^1.21 1 1 ^ (X -1)2g(_) --I nx x h(x) = g(x) - g(_) = In x_x h (x) 2 -⑵ x ，设x X ,贝y x ,当x=1 时，h(1) = 0，即g(x)= g(；),当x^(0,12(1，畑)时，h'(x)vo ,1 因此，h(x)在(°,：：)内单调递减，当0 ：x ：1 时，h(x)h(1)= 0，即g(x)f'(x)在区间吟亠')上单调递减，则只需f(|厂0即可.f(x)在(i「)上存在单调递增区间6,【解析】(I ) f (x)=3x2 6ax (3-6a), f (0)=3-6a,又f(0)=12a-4曲线y = f(x)在x = 0的切线方程是：y -(12a -4) =(3 -6a)x，在上式中令x = 2，得y =2. 所以曲线y二f(x)在x = 0的切线过点(2,2);欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。