互独立的，即前一顾客的到达不影响后一顾客的到 达。
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❖流的普遍性
❖ 在同一时刻，有两个及两个以上顾客到达的 概率与有一个顾客到达的概率相比小到可以 忽略的程度，即当Δt充分小时，在时间区间 (t,t+Δt)内有2个及2个以上顾客到达的概率是 关于的高阶无穷小。
Pn(t,tt)o(t)
第二节 顾客到达分布
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系统的组成
顾客
服务机构
顾客到达有先后
服务时间有长短
存在随机性
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❖ 要想预测在某一时刻将有多少顾客要求服务系统服 务，或者预测某一顾客的服务时间将要延误多久这 都是不可能的
❖ 对单位时间内到达系统的顾客数和服务时间这两个 随机变量进行概率的描述
当Δt充分小时，在(t,t+Δt)内有一个顾客到达的概 率与Δt成正比，即
P 1 (t,t t) t o ( t)
其中，O(Δt)是当Δt →0时，关于Δt高阶无穷小，λ为 单位时间内的顾客到达平均数。
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❖ 流的无后效性
❖ 在时间轴上，互不相交的时间区段
t1,t2 和t3,t4 (t1t2t3t4) 内，顾客的到达数是相
❖ 描述顾客到达和服务时间的方法，要求出单位时间 内有K个顾客到达系统要求服务的概率，以及服务 时间不少于某一时间长度的概率
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最简单流（泊松流）
❖ 流的平稳性
➢ 对于任意的t≥0及Δt≥0，在时间区间(t,t+Δt)内有n 个顾客到达的概率只与Δt有关，与时间区间的起点t 无关。
n2
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流的平稳性
流的普遍性
P 1 (t,t t) t o ( t)
Pn(t,tt)o(t)
n2
P 0 (t,t t) 1 t o ( t)
在区间(t,t+Δt)内没有顾客到达的概率
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在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n个顾 客的概率 Pn(t) ?
Δt内有一个顾客到达的概率
2、在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i-1的概 率为μiΔt+O(Δt)——平稳性条件
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Δt内有一个顾客离开的概率
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3、在（t,t+Δt）内系统发生两次以上转移的概率 为O(Δt)，即有2个以上顾客到达或离开的概率为
Pn (t) 0 ——普遍性条件
达可以看成是m次独立的试验
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在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n 个顾客的概率 Pn(t) ?
在m个dt中，有n个dt被顾客“占着”的概
率 利用二项定律
P n( t)P m (n)C m n m t n 1m t m n
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dt0，m
2021/3t/5→∞时，Pi(t)趋向于精常品课数件：系统达到稳定
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❖ 系统达到稳定后：每个状态转入率的期 望值与转出率的期望值相等。
对于状态i：转出率的期望值为
iP iiP i(ii)P i
转入率的期望值为
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( n！ t)n m li m 1m tm
(t)n
n！
et
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Pn(t)( n！ t)n e10t
符合最简单流（泊松流）的随机事件
发生规律称为泊松分布
Pn(t)( n！ t)n et
单位时间发生n个随机时间的概率 参数1个：λ—顾客的平均到达率
思考：交叉口交通流量，排队车辆？
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P n( t)m l i m C m n m t n 1m t m n
lim m (m 1 )m ( 2 )(m n 1 ) t n 1 t m n
m
n !
m m
( n ！ t)nm l i m m m m m 1 m m n 1 1 m的输入过程和服务过程符合泊松分布， 排队过程符合生灭过程
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二、生灭过程状态转移图
顾客到达率
λ0
λ1
λ2
λi-2
λi-1
λi
λi+1
λk-2
λk-1
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
Sk-1
Sk
μ1
μ2
μ3
μi-1
μi
μi+1
μi+2
μk-1
μk
状态
系统服务率
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泊松分布的另外一种表达方 式——负指数分布
Pn(t)( n！ t)n et
若n=0
在Δt的时间段内没有顾客达到的概率
P0(t)et
前后两次随机事件发生的时间间隔大于Δt
P(ht)et
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P(ht)et
负指数分布
Pn(t)( n！ t)n et
泊松分布
随机事件发生时间间隔 大于单位时间Δt的概率
❖ 从本质上看，泊松分布与负指数分布是同一 个过程的不同表现形式。
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第三节 生灭过程
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一、生灭过程定义
❖ 研究系统内部状态变化的过程 状态i+1
一个事件
系统状态i
一个事件
状态i-1
在Δt时刻内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt)
Δt→0， O(Δt) →0
P(ht)1et
在单位时间Δt内，发生 n次随机事件的概率
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随机事件发生时间间隔 小于单位时间Δt的概率
参数1个：λ—顾客的平均到达率
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❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 单位时间内的到达数服从泊松分布。
❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 到达的时间间隔服从负指数分布。
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如在Δt→0内，交叉口一条车道 到达两
辆精品车课的件概率为O(Δt) →0
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系统具有0,1,2,……个状态。在任何时刻，若系 统处于状态i，并且系统状态随时间变化的过程 满足以下条件，称为一个生灭过程：
1、在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i+1的概 率为λiΔt+O(Δt)——平稳性条件
❖ 设把长为Δt的时间区间分成m等分，每段长度为 dtt/m。若在dt内，有一个顾客到达，则称被“占着”，
如果在dt内，没有顾客到达，则称为“空着”。
被“占着”的概率近似为
P 1 (t,t t) t o ( t)
被“空着”的概率近似 P 0 (t,t t) 1 t o ( t)
根据流的无后效性，在m个dt中，有顾客到达与没有顾客到