匝道等不完整缓和曲线坐标计算随着全站仪在道路工程施工测量中的普及，传统的中线放样方法逐渐被淘汰。

目前道路工程中线放样时，只要能计算出中线上任意一点的坐标，用全站仪或者GPS RTK的坐标放样功能就可很方便、快捷地完成实地放样。

道路线形是由直线、圆曲线、缓和曲线三种线形组合而成的，而直线与圆曲线组合的线形（见图一）中桩坐标计算比较简单，在此不作阐述。

下面就缓和曲线与其它两种线形组合的线形中桩坐标计算予以分析。

缓和曲线与其它两种线形组合构成的线形主要有缓和曲线的完整形（即基本形）（见图二）和非完整形（即卵形）（见图三）二种。

一、基本形曲线中桩坐标计算:1、对于第一缓和曲线及圆曲线段（ZH~YH）（如图四），建立以ZH为坐标原点，切线方向为X′轴，半径方向为Y′轴的曲线坐标系（X′O′Y′）。

先计算曲线各点在曲线坐标系下的坐标。

⑴对于第一缓和曲线段（ZH~HY）内任一点i（此时L=Ki-KZH）若圆曲线半径R≥100m时，则X i ′=L-L5/(40R2Ls12) 公式①Y i ′=L3/(6RLs1) 公式②若圆曲线半径R＜100m时，则X′=L-L5÷［40（RLS ）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS ）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］（公式③）Y′=L3÷［6（RLS ）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS ）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］（公式④）⑵对于圆曲线段（HY~YH）上任一点iX i ′=q+Rsin¢iY i ′=R(1-cos¢i)+pL=Ki-KZH¢i=(L- Ls1)*180/(Rπ)+β内移值P=Ls12/(24R)切线增值q= Ls1/2- Ls13/（240R2）综合⑴、⑵，根据不同坐标系的相互转换，可得ZH~YH上任一点i的中桩测量坐标为：X i =XZH+cosA×Xi′-sinA×f×Yi′（公式⑤）Y i = YZH+sinA×Xi′+cosA×f×Yi′（公式⑥）式中f为线路的转向系数，右转时f=1，左转时f=-1 。

A为X′轴方向的坐标方位角。

2、对于第二缓和曲线段（YH~HZ），建立以HZ为坐标原点，切线方向为X”轴，半径方向为Y”轴的曲线坐标系（X”O”Y”）。

此时对于第二缓和曲线段（YH~HZ）上任一点i在曲线坐标系（X”O”Y”）下的坐标可表达为(此时L=KZH - Ki)若圆曲线半径R≥100m时，则X i "=L-L5/(40R2Ls12) 公式①Y i "=L3/(6RLs1) 公式②若圆曲线半径R＜100m时，则X"=L-L5÷［40（RLS ）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS ）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］（公式③）Y"=L3÷［6（RLS ）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS ）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］（公式④）同理经过坐标系的转换，可得测量坐标X i =XHZ+cosA×Xi"-sinA×g×Yi"（公式⑦）Y i = YHZ+sinA×Xi"+cosA×g×Yi"（公式⑧）式中g为线路的转向系数，右转时g=-1，左转时g=1 。

A为X"轴方向的坐标方位角。

二、 卵形曲线中桩坐标计算1、卵形曲线坐标计算原理。

我们知道：卵形曲线是指在两半径不等的圆曲线间插入的一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线只是缓和曲线的一段，是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，是一条非完整的缓和曲线。

因此在进行计算时可根据已知的设计参数，先求出包含此卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素（主要是HZ'点坐标值、桩号及其切线方位角），再按完整形缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意一点的坐标。

2、卵形曲线坐标计算方法。

卵形曲线一般设计在高速公路互通立交的匝道上，圆曲线半径都比较小。

计算时先将卵形曲线还原成完整缓和曲线，再通过两曲线半径R 1、R 2求出还原的缓和曲线长L 0。

假设R 1<R 2，则HZ'靠近半径为R 2的圆曲线，此时 L 0=R 1×L 12/（R 2-R1） A 2= L 0×R 2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）。

由此求出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）建立以HZ'为坐标原点，切线方向为X ′轴，半径方向为Y ′轴的曲线坐标系（X ′O ′Y ′）。

如图五 ①、计算出YH1点（R 1 对应的点）在曲线坐标系下的坐标，进而求出HZ ′的测量坐标 X ′=L-L 5÷［40（RL S ）2］+L 9÷［3456（RL S ）4］–L 13÷［599040（RL S ）6］+L 17÷［175472640（RL S ）8］- L 21÷［7.80337152×1010（RL S ）10］ （公式③）Y ′=L 3÷［6（RL S ）］ - L 7÷［336（RL S ）3］+L 11÷［42240（RL S ）5］ - L 15÷［9676800（RL S ）7］+L 19÷［3530096640（RL S ）9］ - L 23÷［1.8802409472×1012（RL S ）11］ （公式④）因为卵形曲线多为小半径的缓和曲线，为保证计算精度要求取公式前6项来计算。

公式中L 为计算点至HZ'的弧长（此时为YH1点） L 对应弦长C=√（X'2+Y'2）偏角a1=arctg （Y'÷X'） 注：偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。

此时缓和曲线切线角：a2=90L÷（πR）∴YH1~HZ′切线方位角；T=TYH1+ a2- a1∴HZ′测量坐标： X=XYH1+CcosT，Y=YYH1+CsinT②、HZ′点的切线方位角（X′坐标轴方向）计算切线方位角：A=T-180+ a1③、计算卵形曲线任一点的坐标使用公式⑦、⑧即可三、计算实例下面以泉三高速公路三明段大田立交B匝道缓和曲线基本形与卵形中桩坐标计算为例，见图六：已知相关设计数据见下表：R1=50、R2=751、基本形曲线ZH~YH1段计算A1=√（50*70）=59.161由ZH点坐标推算HY1点的坐标，若直接利用X i ′=L-L5/(40R2Ls12) Yi′=L3/(6RLs1) 此时L=Ki-KZH得Xi′=66.57，Yi′=16.333代入公式⑤、公式⑥得测量坐标Xi =9968.422 Yi=10125.242此坐标与设计坐标相差比较大，是由于曲线半径小，计算Xi ′、Yi′时公式只取前两项导致的。

为此取计算公式前六项，利用公式③、公式④X′=L-L5÷［40（RLS ）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS ）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］（公式③）Y′=L3÷［6（RLS ）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS ）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］（公式④）此时得Xi ′=66.639，Yi′=15.762代入公式⑤、公式⑥得测量坐标Xi = 9968.983 Yi=10125.338此坐标与设计坐标相比较ΔX=X计算值-X设计值=9968.983-9968.981=+0.002mΔY=Y计算值-Y设计值=10125.338-10125.341=-0.003m2、卵形曲线参数：A22=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900 A2=84.9993、卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ′点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用），建立以HZ′为坐标原点、切线方向为X′轴、半径方向为Y′轴的曲线坐标系（X′O′Y′）。

L S （YH1至HZ'的弧长）=A22÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ′桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213L E =HY2至HZ′的弧长= A22÷R2=7224.900÷75=96.332卵形曲线长度LF=Ls- LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ′-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确4、HZ′点坐标计算（见图六：）①用缓和曲线切线支距公式计算，由于卵形曲线半径一般都比较小，为确保计算精度，计算公式保留前六项，如下X′=L-L5÷［40（RLS ）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS ）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］（公式③）Y′=L3÷［6（RLS ）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS ）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］（公式④）公式中L为计算点至HZ′的弧长HZ′：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ′-YH1=368.213-223.715=144.498将L= LS代入公式⑤、公式⑥得：X′=117.1072 Y′=59.8839L对应弦长C=√（X′2+ Y′2）=131.5301偏角a1=arctg（Y′÷X′）=27°05’00.2”缓和曲线切线角：a2=90L÷（πR）=90×144.498÷(π×50)=82°47’28.5”Q3=a2- a1=82°47’28.5”-27°05’00.2”=55°42’28.3”∴YH1~HZ′切线方位角=205°24’33.6” +Q3=205°24’33.6”+55°42’28.3”=261°07’01.9”∴HZ′：AK0+368.213坐标：X=XYH1+Ccos261°07’01.9”=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293Y=YYH1+Csin261°07’01.9”=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.8385、HZ′：AK0+368.213点的切线方位角（X'坐标轴方向）计算切线方位角=261°07’01.9”-180+ a1=261°07’01.9”-180+27°05’00.2”=108°12’02.1”6、计算卵型曲线上任意点坐标(以HZ′:AK0+368.213作为推算起点)①计算HY2:AK0+271.881的坐标∵L= HZ′- HY2=368.213-271.881=96.332代入公式③、公式④得: X′=92.434 Y′=20.022将此值代入公式⑦、公式⑧得X=9880.442 Y=10100.901②与设计值比较: ΔX=X计算值-X设计值=9880.442-9880.438=+0.004mΔY=Y计算值-Y设计值=10100.901-10100.904=-0.003m同理依次可计算出卵型曲线上其它任意点的坐标。