高二（理科）数学第一学期期中试卷（试卷I ）一、选择题（每题只有一个正确答案，把选项代号填入答卷．．中每题5分。

满分60分） 1．不等式“2a b c +>”成立的一个充分条件是（ ）A ．c b c a >>或B ．c b c a <>且C ．c b c a >>且D ．c b c a <>或 2．设定点1F （－3，0）、F （3，0），动点P 满足条件126PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．不存在C ．椭圆或线段D ．线段3． 在ABC ∆中,若,sin sin cos 2C A B = 则ABC ∆的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B.等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 4．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且387,n S S S S ==，则n 为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．65．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若01a <<，01b <<，则a b +，2ab ，22a b +，2ab 中最大一个是 （ ）A ．a b +B ．2abC ．22a b +D ．2ab 7．“220a b +≠”的含义为（ ）A ．a 、b 都不为0B ．a 、b 至少有一个为0C ．a 、b 至少有一个不为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为08．满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x 的2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[2,5]C ．[3,6]D ．[3,5]9. 到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ）A ．x y =B ．||x y =C ．22x y =D ．022=+y x10．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．13-11．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 12．已知a ，b 都是负实数，则ba bb a a +++2的最小值是 ( )A ．65B ．2(2-1)C ．22-1D ．2(2+1)二、填空题(4小题．只要求在答卷．．中直接填写结果，每题填对得4分．共16分) 13．已知命题p ：3x ≥，命题q ：2540x x -+<，又p ∧q 为真，则x 范围为 14．命题P ：3,1x Z x ∃∈<。

则P ⌝为15．与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 16．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数 表（每行比上一行多一个数）：设,i ja （i 、j ∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数， 如4,2a ＝8．则63,54a 为1234 56班 座号 姓名_________________成绩____ __第一学期期中试卷 高二（理科）数学（试卷II ）一、 选择题(60分，每题5分)二、填空题（20分，每题4分）13 ；14． ；15． ；16．三、解答题（本题共6小题，共74分.在答卷．．中应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得75,60BCD BDC CD s ∠=∠==，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，求塔高AB 。

(12分)18．△ABC 中，BC ＝7，AC ＝3，∠A ＝120o ，求以点B 、C 为焦点且过点A 的椭圆方程。

(12分)19．现有一批货物用轮船甲地运往乙地距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成。

轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元。

已知轮船速度为20海里/小时的全程运输成本为30000元。

(12分)（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x(海里/小时)的函数；（2）为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？20．数列{}n a 中0n a >，且由下列条件确定：*1110,(),2n n nma m a a n N a +=>=+∈．(12分) （1）证明：对n ≥2，总有n a ≥ （2）证明：对n ≥2，总有1n n a a +≥．21．y 轴上两定点120,(0,)B b B b -()、，x 轴上两动点M N ，。

P 为B 1M 与B 2N 的交点，点M ，N 的横坐标分别为X M 、X N ，且始终满足X M X N ＝2a (0a b >>且为常数），试求动点P 的轨迹方程。

(12分)22．已知数列{}n x 满足121x x ==，并且11,(n n n n x xx x λλ+-=为非零常数，2,3,4,...).n =(14分)（1）若1x 、3x 、5x 成等比数列，求参数λ的值；（2）设01λ<<，证明：3*534312...().1n n x x x n N x x x λλ++++<∈-高 二（理科） 数 学 参考答案二、 选择题(60分，每题5分)13． [3,4) 14．3,1x Z x ∀∈≥ 15．2212520y x += 16． 2007 三、解答题（本题共6小题，共74分.在答卷．．中应写出文字说明，证明过程或演算步骤）A17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得75,60BCD BDC CD s ∠=∠==，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，求塔高AB 。

(12分)解：在BCD △中，180756045CBD ∠=--= 2分由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠ 5分所以sin sin 606sin sin 452CD BDC s BC s CBD ∠⋅===∠． 8分在ABC Rt △中，2tan tan 302AB BC ACB s s =∠=⋅=． 12分 18．△ABC 中，BC ＝7，AC ＝3，∠A ＝120o ，求以点B 、C 为焦点且过点A 的椭圆方程。

(12分)解：由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-∠ 2即24993AB AB =++得8AB =-（舍去）或 5AB = 4分以BC 为x 轴，BC 垂直平分线为y 轴建立直角坐标系 6分 由椭圆定义知28a AB AC =+=，27c BC == 8分知22221516,4a b a c ==-=10分 故椭圆方程为22115164x y += 12分19．现有一批货物用轮船甲地运往乙地距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成。

轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元。

已知轮船速度为20海里/小时的全程运输成本为30000元。

(12分)（1）把全程运输成本y （元）表示为速度x(海里/小时)的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？解：（1）由题意得，每小时燃料费用为2(045)kx x <≤,全程所用时间为500x小时。

2分 则全程运输成本y=2500500960kx x x+，(0,45]x ∈. 4分 当x=20时,y=30000得：k=0.6 5分故所求的函数为y=1600300()x x+,(0,45]x ∈ 7分 (2)y=1600300()x x+30024000≥⨯=, 10分 当且仅当1600x x=，即x=40时取等号。

11分 故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小。

12分20．数列{}n a 中0n a >，且由下列条件确定：*1110,(),2n n nma m a a n N a +=>=+∈．(12分) （1）证明：对n ≥2，总有n a ≥ （2）证明：对n ≥2，总有1n n a a +≥．解：（1）证明：由10,am =>及11(),2n n nma a a +=+ 0n a > 从而有11()).2n nn m a a n N a+=+≥=∈ 4分 所以，当n ≥2，总有n a . 6分（2）证法一：当112,0,()2n n n nmn a a a a +≥≥>=+时因为 所以2111()0,22nn n n n n nm a m a a a a a a+--=+-=⋅≤ 10分故当12,.n n n a a +≥≥时成立 12分证法二：当112,0,()2n n n nmn a a a a +≥≥>=+时因为所以2221221()2122n n n n n nn n n nma a a a m a a a a a ++++==≤= 10分 故当12,.n n n a a +≥≥时成立. 12分21．y 轴上两定点120,(0,)B b B b -()、，x 轴上两动点M N ，。

P 为B 1M 与B 2N 的交点，点M ，N 的横坐标分别为X M 、X N ，且始终满足X M X N ＝2a (0a b >>且为常数），试求动点P 的轨迹方程。

(12分)解：设(),P x y ，(,0)m M x ，(,0)n N x 2分由M ，P ，B 1三点共线，知000m y b bx x --=-- 4分所以m bxx b y=- 6分 同理得n bxx b y=+ 9分m n x x =22222b x a b y=- 10分 故点P 轨迹方程为22221x y a b+= 12分（或由向量共线，或由直线方程截距式等求得点M 坐标可相应给分）22．已知数列{}n x 满足121x x ==，并且11,(n n n n x xx x λλ+-=为非零常数，2,3,4,...).n =(14分)（1）若1x 、3x 、5x 成等比数列，求参数λ的值；（2）设01λ<<，证明：3*534312...().1n n x x x n N x x x λλ++++<∈- 解：（1）由3221x xx x λλ== 得3x λ= 2分 由22342321x x xx x x λλλ=== 得34x λ= 3分由23353424321x x x xx x x x λλλλ==== 得65x λ= 4分由已知2315()x x x =得26λλ=（λ为非零常数）故1λ=± 6分 （2）由01λ<<又2333231211111211()()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x λλλλ+++-+-+---++-÷===== 2,n ≥且n N ∈ 9分故数列3n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以341x x λ=为首项，以3λ为公比的等比数列 10分 设53412...n n n x x x T x x x +=+++＝333(1)1n λλλ-- 11分 01λ<<301n λ∴<< 12分则333*33(1)()11n n T n N λλλλλ-=<∈-- 14分 （另333321121()n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x λ+++++++== 又211112121n n n n n n n n x x xx x x x x λλλλ--+---===== 33n n nx x λ+∴=）（或由111,n n n n n n n x x xb x x x λ+--==，则n b 看成等比数列也可相应给分）。