《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒d r <⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒d r =⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒d r >⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒d r >⇒无交点；2、直线与圆相切 ⇒d r =⇒有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒d r <⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点 ⇒d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD图1图3rRd图2中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径BDBA推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：BAO即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥，∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅DBA十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C ∆中，221AB CO ==（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。

十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA = （3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=；（2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+（2）圆柱的体积：2V r h π= （2）圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+（2）圆锥的体积：213V r h π=典型例题例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O ，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线，TP 、NP 分别为两圆的切线，求∠TPN 的大小．例2．如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．C 1D 1例3．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）例4．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？例5．如图3和图4，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD •相交于MN •上的一点P ，•∠APM=∠CPM ． （1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．D例6如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）A ．130°B ．100°C ．50°D ．65°例7．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．例8．如图所示，点A 坐标为（0，3），OA 半径为1，点B 在x 轴上． （1）若点B 坐标为（4，0），⊙B 半径为3，试判断⊙A 与⊙B 位置关系；（2）若⊙B 过M （－2，0）且与⊙A 相切，求B 点坐标．例9．如图，已知正六边形ABCDEF ，其外接圆的半径是a ，•P例10．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC •的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24－94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC 的边AB 上的高h ．（2）设DN=x ，且，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．例11．操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．例12．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm 2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？h DN NFh AB-=π例13、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交于D ． (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径． 例14.已知：如图等边内接于⊙O ，点是劣弧PC 上的一点（端点除外），延长至，使，连结．（1）若过圆心，如图①，请你判断是什么三角形？并说明理由． （2）若不过圆心，如图②，又是什么三角形？为什么？ 解题思路：（1）为等边三角形．是⊙O 的直径，，垂足为，平分是⊙（2）若，求的长．例16、如图，已知在⊙O 中，AB=，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A=30°. (1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. 例17.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．⋂BC ABC △P BP D BD AP =CD AP O PDC △AP O PDC △PDC △AE CD ⊥E DA 301cm DBC DE ∠==，BD 3490πD图D图②B（3）当⊙O 的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．例18.(1)如图OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点：过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交DC 于点E ．求证：CD=CE(2)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于F ，交⊙O 于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗?为什么?(3)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗?为什么例19、（2010山东德州）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 与⊙O 相切；（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG 的度数．例20、（2010广东广州）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ． （1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S，若2SDE ＝ABC 的周长. 例21．（2010江西）“6”字形图中，FM 是大圆的直径，BC 与大圆相切于B ，OB与小圆相交于A ，BC ∥AD ，CD ∥B Ｈ∥ＦＭ，BC ∥DG ，ＤＨ∥ＢＨ于H ，设,4,6FOB OB BC α∠===，(0)R R > CP D OB AE（１）求证：AD是小圆的切线；（２）在图中找出一个可用α表示的角，并说明你这样表示的理由；（３）当30α=︒，求DH的长例22.（2010江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系中，直线y kx b=+（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．①求k的值；②若b=4，点P为直线y kx b=+上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．⑵若12k=-，直线y kx b=+将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）例23．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N•在⊙O上．（1）求证：AM=BN；（2）若C、D分别为OA、OB中点，则AM MN NB==成立吗？。