函数的单调性

知识梳理

1. 单调性概念

一般地，设函数()fx的定义域为I：

（1）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是增函数；

（2）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是减函数.

2. 单调性的判定方法

（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

（2）定义法步骤；

①取值：设12,xx是给定区间内的两个任意值，且12xx (或12xx)；

②作差：作差12()()fxfx，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）；

③定号：判断12()()fxfx的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；

④下结论：根据定义得出其单调性.

（3）复合函数的单调性：

当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）

3. 单调区间的定义

如果函数()yfx，在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D叫做()yfx的单调区间．

例题精讲

【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图．

(1)从左向右看，图形是如何变化的

(2)在哪些区间上升哪些区间下降

解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。

【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f(x)=x;

①从左至右图象上升还是下降

②在区间(-∞，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化

（2）f(x)=x2．

①在区间(-∞，0)上，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化

②在区间[0 ，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化

解：（1）①从左至右图象是上升的；

②在区间(-∞，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着增大．

（2）①在区间(-∞，0)上，随着x的增大，f(x)的值随着减小；

②在区间[0 ，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着增大．

【例3】函数()yfx在定义域的某区间D上存在12,xx，满足12xx且12()()fxfx，那么函数()yfx在该区间上一定是增函数吗

解：不一定，例如下图：

【例4】下图是定义在闭区间[5,5]上的函数()yfx的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．

解：函数()yfx的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)；

其中在区间[5,2),[1,3)上是减函数，在区间[2,1),[3,5)上是增函数.

【例5】证明函数()32fxx在R上是增函数.

证明：设12,xx是R上的任意两个实数，且12xx （取值）

则1212()()(32)(32)fxfxxx （作差） 123()xx

由12xx，得 120xx

于是12()()0fxfx （定号）

所以12()()fxfx

所以，函数()32fxx在R上是增函数。 （下结论）

课堂练习

仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1. 若函数()fx在区间(,)ab上是增函数，在区间(,)cd上也是增函数，则函数()fx在区间(,)(,)abcdU上 ( )

A.必是增函数 B.必是减函数 C.先增后减 D.无法确定单调性

2. 在区间(,0)上为增函数的是（ ）

A．1y B．21xxy

C．122xxy D．21xy

3．函数,在上是（ ）

A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.无单调性

4．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )

>0 B．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0

C．f(a)0

5．函数11yx的减区间是 .

6．证明：函数1()fxx在(0,)上是减函数。

7．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，判断f(a2－a＋1)与f34的大小关系．

8．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，求k的取值范围.

9．已知函数()1axfxx,若.

(l)求的值.

(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.