函数的单调性
一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题．
二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用．
三、教学过程：
（一）主要知识：
1、函数单调性的定义；
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：
（1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手
（5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域
3、函数单调性的证明：定义法；导数法。

4、一般规律
（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；
（2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；
（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；
（4）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是
减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

（二）主要方法：
1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数．
3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用．
（三）例题分析：
例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；
（2）已知2()82,f x x x =+-若2
()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞，
（2）222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<<
∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．
例2．设0a >，()x x e a f x a e
=+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．
例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为(,2)(2,)-∞-+∞．
例4．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，
（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<． 解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数．
（2）设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111
()()()()x x f x f f x f x x =+-=
∵210x x >>，∴211x x >，∴21
()x f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．
（3） 即不等式的解集为(． 例5．函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围． 另解：（用导数求解）令()8a g x x x =+-，函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数， ∴()8a g x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，2()1a g x x
'=+， ∴180a +->，且210a x +≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<． （四）巩固练习：
1、下列函数中，在区间)2,0(上递增的是 （ ）
（A ）x
y 1= （B ）x y -= （C ）1-=x y （D ）122++=x x y 2、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ）
（A ）)(1x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2
1x f y = （D ）2)]([x f y = 3、已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且)(x f 在（0，+∞）上是减函数，如果01<x ，
02>x 且|,|||21x x <则有
（ ） （A ）0)()(21>-+-x f x f （B ）0)()(21<+x f x f
（C ）0)()(21>---x f x f （D ）0)()(21<-x f x f
4、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)3
1
(=f ，则不等式0)(log 8
1>x f 的解集为 （ ）
（A ）)21,0( （B ）),2(+∞ （C ）),2()1,21(+∞⋃ （D ）),2()21,0(+∞⋃
变题：设定义在[-2, 2]上的偶函数()f x 在区间[0, 2]上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围。

5、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________；
（2）函数)34(log )(22
1-+-=x x x f 的递减区间为_________
变题：已知()log (2)a f x ax =-在[0, 1]上是减函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿。

答案：1、D 2、C 3、C 4、D 变题：
1 1, 2
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭ 5(1)(],2
-∞ (2)(]
1,2变题：（1,2）
四、小结：
函数单调性或者求函数单调区间的求法。

五、作业：。