函数的单调性与最值
一、知识点归纳
1、函数单调性的性质：
（1）增函数：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，
都有，. （2）减函数：如果对于属于定义域内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有，
. （3）函数的单调性还有以下性质.
1、函数与函数的单调性相反.
2、当恒为正或恒为负时，函数与的单调性相反.
3、在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等.
4、如果，函数与函数具有相同的单调性.（如果，单调性相反.）
若，则函数与具有相反的单调性. 若，函数与函数具有相同的单调性. （若，单调性相反.） 函数在上具有单调性，则在上具有相反的单调性.
2、复合函数的单调性。

定义：如果函数，则称为的复合函数。

复合函数的单调性的判断：同增异减。

I 12,x x 12x x <()()12f x f x <()()1212
0f x f x x x ->-I 12,x x 12x x <()()12f x f x >()()12120f x f x x x -<-()f x ()f x -()f x ()
1f x ()f x 0k >()kf x ()f x 0k <()0f x ≠()
1f x ()f x ()0f x >()f x ()f x ()0f x <()f x R ()f x -R ()(),,,u g x x A u A y f u =∈∈=()y f g x =⎡⎤⎣⎦x
二、例题精讲
题型一、单调性讨论或证明
定义法证明单调性的等价形式：设，那么
在上是增函数； 在上是减函数. 例1、（不含参）证明：21)(x x f =
在()0,∞-上是增函数.
变式1、判断在上的单调性.
例2、（含参）求函数在区间内的单调性.
例3、（抽象函数）设()y f x =的单增区间是(2,6)，求函数(2)y f x =-的单调区间．
题型二、比较函数值的大小
例4、已知函数)(x f y =在[)+∞,0上是减函数，试比较)4
3
(f 与)1(2+-a a f 的大小. []1212,,,x x a b x x ∈≠()()()()()()12121212
00f x f x x x f x f x f x x x --->⇔>⇔⎡⎤⎣⎦-[],a b ()()()()()()12121212
00f x f x x x f x f x f x x x ---<⇔<⇔⎡⎤⎣⎦-[],a b ()11x f x x -=
+()1,-+∞()()201ax f x a x
=
>-()1,1-
变式1、已知函数)(x f y =在[)+∞,1上是增函数，比较与的大小.
题型三、已知单调性，求参数范围
例5、已知函数2
()2(1)2f x x a x =+-+.
（1）若)(x f 的减区间是(]4,∞-，求实数a 的值；
（2）若)(x f 在(]4,∞-上单调递减，求实数a 的取值范围.
补充：已知函数在单调递增，则a 的取值范围是_____
例6、若函数⎩
⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在上为增函数，求实数b 的取值范围.
例7、函数2
1)(++=x ax x f 在区间(2,)-+∞上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） A 、210<<a B 、2
1>a C 、1a <-或1a > D 、2a >-
例8、若函数在上是单调递增函数，求a 的取值范围_______．
()f a ()
2f a ()()2231f x ax a x a =--+[)1,+∞R ()21f x ax x a =+++()2,-+∞
变式1、设二次函数.
（1）若函数的单调增区间为，则实数的值__________；
（2）若函数在区间内是增函数，则实数的范围__________.
变式2、已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣2在区间[1，+∞）上不单调，则实数的取值范围是
变式3、函数[]2()485,20f x x kx =--在上具有单调性，则实数的取值范围 （ ）
A.[]20,80 B ．(][)-40160+∞⋃∞，
，C ．()()-80+∞⋃∞，20， D ． []40,160
变式4、已知)()(a x a
x x x f ≠-=
，若0>a 且)(x f 在内单调递减，求a 的取值范围____．
变式5、若是上的单调减函数，则实数的取值范围是________ 题型四、利用单调性，解不等式
例9、已知函数)(x f y =是()1,1-上的减函数，且，求a 的取值范围_______．
()()2213f x x a x =-++()f x [)2,+∞a ()f x [)2,+∞a a k ()1,+∞(),13,1
a x f x x x a x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩R a ()()121f a f a ->-
例10、已知是定义在上的增函数，且满足，求a 取值范围__．
例11、已知函数224,(0)()4,(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩, 若2(2)()f a f a ->，则a 的取值范围是( ) A 、(,1)(2,)-∞-+∞ B 、(1,2)- C 、(2,1)- D 、(,2)(1,)-∞-+∞ 题型五、单调性法求函数最值（值域）
例12、函数1
21)(-=
x x f 在[]5,1上的最大值为________,最小值为________;
变式 1.函数x x y 212--=的值域为________________; 函数1-+=
x x y 的值域为________________; 函数212+--=
x x y 的值域为________________;
例13、函数y=在(1，＋∞)上的值域为（ ）
变式 1函数x x y +=
1的值域为________________;
例14、函数1
12++=x x y 在[]4,2上的最大值为________,最小值为________; ()f x [)0,+∞()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
1y x x =+
二次函数的区间最值的求法
二次函数在给定区间[]n m ,上求最值，常见类型：
定轴定区间：对称轴与区间[]n m ,均是确定的；
动轴定区间：
定轴定区间（可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系）
例15、当22≤≤-x 时，求函数322
--=x x y 的最值.
变式、求函数542++-=x x y 在[]5,1上的最值.
2、动轴定区间（对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.）
例16、已知函数22)(2++=ax x x f ，求)(x f 在[]5,5-上的最值.
变式、求函数12)(2
--=ax x x f 在[]2,0上的最值.
思考 求函数2y x =
的值域
复合函数单调性
1、注意：（1）求单调区间必先求定义域；
单调区间必须是定义域的子集；
写多个单调区间时，区间之间不能用“ ”并起来，应用“，”隔开.
判断复合函数单调性步骤：
①求函数的定义域；
②将复合函数分解成基本初等函数：)(t f y =与)(x g t =；
③确定两个函数的单调性；
④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性
题型二、求复合函数的单调区间
例13. 求下列函数的单调区间.
267x x y --= 3
212--=x x y
变式
228x x y --= 321
2--=x x y x
x y 412-=
题型六、抽象函数单调性的判断——定义法
①“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；
②赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
例14.已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时0)(>x f ，求证：)(x f 在R 上单调递增.
变式1：已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意x 、y ∈()+∞,0，恒有)()()(y f x f xy f +=，且当10<<x 时0)(>x f ，判断)(x f 在()+∞,0上单调性
变式2：定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意x 、y ∈()+∞,0，满足)()()(n f m f mn f +=，且当1>x 时0)(>x f .
求)1(f 的值； 求证：)()()(n f m f n
m f -=； （3）求证：)(x f 在()+∞,0上是增函数；
（4）若1)2(=f ，解不等式2)2()2(>-+x f x f。