2017 届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关 系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法，是设出直线方程， 通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。

技巧在于：设哪一条直线？ 如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参 考。

如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。

下面总结圆锥曲线中几种常见的几种 定点模型：模型一：“手电筒”模型+ = 1 若直线 l ：y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点( A ，B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

y =kx +m 得(3+4k 2)x 2 +8mkx +4(m 2 -3)=0，3x 2+4y 2=12=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)0，3+4k 2-m 28mk 4(m 2 - 3)x 1+x 2 =-38+m 4k k 2,x 1x 2 = 43(m + 4-k 23) yy =(kx +m )(kx +m )=k 2x x +mk (x +x )+m 2= 3+ 4kQ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0),且k AD k BD =-1， x -2x -2=-1，y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=0，3(m 2 -4k 2) 4(m 2 -3) 16mk2k整理得： 7m 2+16mk + 4k 2= 0 ，解得： m = -2k ,m = -2k ，且满足3+4k 2-m 20 当m =-2k 时，l :y =k (x -2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k 2 2当 m =- 时，l : y =k (x -) ，直线过定点 ( ,0) 2综上可知，直线l 过定点，定点坐标为( 2, 0).◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于 AB ，则 AB 必过定点(x 0(a -b ), y 0(a -b ))。

(参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦 a + b a + b对定点张直角的一组性质”)◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件(如k AP • k BP =定 值，k AP +k BP =定值)，直线 AB 依然会过定点(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)。

(参考 优酷视频资料此模型解题步骤：Step1：设AB 直线 ，联立曲线方程得根与系数关系， 求出参数范围；Step2：由AP 与BP 关系(如k AP • k BP = -1)，得一次函数k = f (m )或者m = f (k )；Step3：将k = f (m )或者m = f (k )代入y =kx +m ，得y =k (x -x )+ y 。

◆迁移训练练习1：过抛物线M: y 2 = 2 px 上一点P (1,2)作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点， 求证：直线 AB 过定点。

(注：本题结论也适用于抛物线与双曲线)例题、(07山东)已知椭圆 C ：解：设 A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)，由23(m 2-4k 2) y 1y23+4k 2 +3+4k 2 + 3+4k 2练习2：过抛物线M: y2= 4x的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点。

(经典例题，多种解法)练习3：过2x2-y2=1上的点作动弦AB、AC且k AB•k AC = 3，证明BC恒过定点。

(本题参考答案：练习:4：设A、B是轨迹C：y2= 2 px(P0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且+=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

(参考答案(-2p,2p))答案】设A(x1, y1),B(x2, y2) ，由题意得x1, x20 ，又直线OA,OB的倾斜角,满足+= ，故0 ,，所以直线AB的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为王奎新新屯疆敞从而设AB 方程为22y=kx+b，显然x=1,x=2，12p22p将y=kx+b与y2=2px(P0)联立消去x，得ky2-2py+2pb=0由韦达定理知y1+ y2= , y1y2= ①kk由+=，得1＝tan=tan(+)= tan+tan=2p(y1+y2)4 4 1- tan tan y y - 4p2将①式代入上式整理化简可得：2p =1，所以b=2p+2pk，b - 2 pk此时，直线AB的方程可表示为y = kx + 2 p + 2 pk即k(x+2p)-(y-2p)=0 所以直线AB恒过定点(-2p,2p).练习5：(2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C(x,y),MN线段的中点为E，由几何图像知ME = MN,CA2=CM2=ME2+EC2(x - 4)2+ y2=42+x2y2=8x(Ⅱ) 点B(-1,0),设P(x1, y1),Q(x2, y2),由题知y1 + y2 0，y1y2 0,y12=8x1,y22=8x2.1= 221= 228(y1+ y2)+ y1y2(y2+ y1)=08+ y1y2=0直线PQx1+1 x2+1 y12+8 y22+8 1 2 1 2 2 1 1 2方程为:y- y1= y2 - y1 (x-x1)y- y1= 1(8x- y12)1x2- x1 1 1y2+ y11y(y2 + y1)-y1(y2 + y1)=8x- y12y(y2 + y1)+8=8x y=0,x=1 所以,直线PQ过定点(1,0)uuur uuur uuur uuur 练习6：已知点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点，且满足|PC||BC|= PB CB (1)求点P的轨迹C对应的方程；(2)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.【解】(1)设P(x, y)代入| PC | | BC |= PB CB得(x-1)2+y2=1+x,化简得y2=4x. (5分) (2)将A(m,2)代入y2= 4x得m = 1,点A的坐标为(1,2).设直线DE的方程为x = my + t代入y2= 4x,得y2- 4mt - 4t =0,设D(x1, y1), E(x2, y2)则y1+ y2=4m,y 1y2=-4t ，=(-4m)2+16t (0*)AD AE = (x1-1)(x2-1) + ( y1- 2)( y2-2)= x1x2-(x1+x2)+1+y 1y2-2(y1+y2)+4 = y1y2-(y1+ y2)+y 1y2-2(y1+ y2)+5= (y 1y2)2-(y1+y2)2-2y 1y2 + y 1y2-2(y1+ y2)+516 416 4即t2- 6t + 9 = 4m2+ 8m + 4即（t -3）2=4（m+1）2t-3=2（m+1）t = 2m + 5或t = -2m +1,代入（*）式检验均满足0 直线DE的方程为x = m（y+2）+5或x =m（y-2）+1 直线DE过定点（5,-2）. （定点（1，2）不满足题意）练习7：已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线. C : y2=4x，交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.uuuur uuur（I）证明: OM OP为定值;(II)设∠POM=α，则| OM ||OP |cos=5.5S= 5 ,| OM | | OP | sin = 5.由此可得tanα=1.又(0,),= 45,故向量OM与OP的夹角为45.2(Ⅲ)设点Q( y3 ,y3),M、B、Q 三点共线，k BQ =k QM,即y3 =y1-y3 ,即y3+1=1,y3+1y1 -y3y3-4 y1+y34+14-4(y3+1)(y1+ y3) = y32- 4,即y1y3+ y1+ y3+4=0.LLLL11分4 4 4y1y2= 4,即y1= ,y3+ + y3+4=0,1 2 1y2y23y23(-4t) (4m) -2(-4t)+(-4t)-2(4m)+5=0化简得t2-6t+5=4m2+8mO为坐标原点，过点A的动直线l即4(y 2 + y 3)+ y 2y 3 +4=0.(*)y 2 - y 322y 22 y 32 444 直线PQ 的方程是y - y 2 = 4(x -2y 2 + y 3即(y -y 2)(y 2 + y 3)=4x -y 22,即y (y 2 + y 3)-y 2y 3 =4x .由(*)式，- y 2 y 3 =4(y 2 + y 3)+4,代入上式，得(y +4)(y 2 + y 3) = 4(x -1). 由此可知直线PQ 过定点E (1，－4).模型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆x 2 + y 2 =r 2上一点P (x 0,y 0)处的切线方程为x 0y + y 0y =r 2”，类比也有22结论：“椭圆+ = 1(a b 0)上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程为 0 + 0 = 1a 2 b2 0 0a 2b2x x+ y 2 = 1的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B.4(1)求证：直线 AB 恒过一定点；(2)当点M 在的纵坐标为 1 时，求△ABM 的面积。

【解】(1)设M (433,t )(tR ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则MA 的方程为x 41x +y 1y =13由①②知AB 的方程为 3 x +ty =1,即x = 3(1-ty )易知右焦点 F ( 3,0)满足③式，故 AB 恒过椭圆C 的右焦点 F ( 3,0) x 2 (2)把AB 的方程x = 3(1- y )代入 4 + y 2=1,化简得7y -6y -1=043∴| AB |= 1+336+28 =16又M 到AB 的距离d = 3 = 2 37 71+ 33∴△ABM 的面积S = 1| AB |d =16 32 21 ◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用 本题的书写步骤替换之，大家注意过程。