专题3：圆锥曲线中的定值定点问题（解析版）1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴一个端点到右焦点F 的.（1）求椭圆C 的标准方程 ；（2）过点 F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴 于P 点，设12,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）是定值-4，理由见解析.【解析】 【分析】（1）由题意可得a ， c ，b ，可求得椭的圆方程.（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆的方程联立整理得：()2222124220k xk x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由一元二次方程的根与系数的关系可得212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，再根据向量的坐标运算表示出1111x x λ=-， 2221x x λ=-， 代入计算可求得定值. 【详解】（1）由题可得a =，又2c e a ==，所以1c =，1b ==， 因此椭圆方程为2212x y +=，（2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--， 由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=-，同理可得2221x x λ=-，所以12121211x xx x λλ+=+--()()()1212121212121222111x x x x x x x x x x x x x x +-+-==---++222222224222121242211212k k k k k k k k --⨯++=--+++4=-， 所以，12λλ+为定值-4. 【点睛】本题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题.2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0作直线l 与椭圆相较于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称.【解析】 【分析】（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c =+，即可求出2,a b ==，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立，可得12y y +，12y y 的表达式，根据题意可得，直线QA ，QB 的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q 点坐标. 【详解】（1）有题意可得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）存在定点(4,0)Q ，满足直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立得22(43)690m y my ++-=，22(6)4(43)(9)0m m ∆=-⨯+⨯->， 设1122(,),(,)A x y B x y ，定点(,0)Q t ，由题意得12,t x t x ≠≠， 所以12122269,4343m y y y y m m +=-=-++， 因为直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称， 所以直线QA ，QB 的斜率互为相反数，所以12120y y x t x t+=--，即1221()()0y x t y x t -+-=， 所以11221)1()(0y y my t my t +-++-=，即1212(1)()02y y t y m y +-+=， 所以22962()(1)()04343mm t m m⋅-+--=++，即6(4)0m t --=， 所以当4t =时，直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，即(4,0)Q . 综上，在x 轴上存在定点(4,0)Q ，使直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称. 【点睛】本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，转化为直线QA ，QB 的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，点B 到坐标原点O的距离为 （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()8,0M 任作直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，请判断x 轴上是否存点T ，使得点M 到直线PT ，QT 的距离都相等.若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =；（2）存在；点T 的坐标为()8,0-. 【解析】 【分析】（1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立，利用判别式等于0，解得1k =，B 点坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，根据点B 到坐标原点O的距离为果；（2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，联立方程28,8,y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 整理成关于y 的一元二次方程，根据韦达定理得到12y y +和12y y ，将点M 到直线PT ，QT 的距离都相等转化为直线PT ，QT 的斜率互为相反数，根据PT QT k k +0=可得结果. 【详解】（1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 联立方程组22,,2y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩消去x 得，2220ky py kp -+=， 由222440p k p ∆=-=，因为0p >，解得1k =（1k =-舍），所以由2220y py p -+=可得y p =，所以2p x =， 所以B 点坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，则OB ==4p =，故抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，联立方程28,8,y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 整理得28640y ny --=，可得128y y n +=，1264y y =-，若点M 到直线PT ，QT 的距离相等，则直线PT ，QT 的斜率互为相反数， 有12121212088PT QT y y y y k k x t x t ny t ny t+=+=+=--+-+-（先假设1x t ≠，2x t ≠）， 可得()()1221880y ny t y ny t +-++-=，整理得，()()1212280ny y t y y +-+=，得2(64)(8)80n t n ⨯-+-⨯=对任意的n 都成立，得8t.显然18x ≠-且28x ≠-.故存在这样的点T 的坐标为()8,0-. 【点睛】关键点点睛：解题关键是将点M 到直线PT ，QT 的距离都相等转化为直线PT ，QT 的斜率互为相反数，然后根据PT QT k k +0=可得结果.本题考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．转化化归思想，属于中档题．4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，且12F F =设A 是C 上一点，且1173b AF =，23bAF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）若不与y 轴垂直的直线l 过点()10B ,，交椭圆C 于E ，F 两点，试判断在x 轴的负半轴上是否存在一点T ，使得直线TE 与TF 斜率之积为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2219x y +=；（2）存在，定点()3,0T -. 【解析】 【分析】（1）由12F F =求得c =根据椭圆的定义求得3a b =，结合222c a b =-，求得3a =，1b =，即可得到椭圆的方程；（2）设l 的方程为1x my =+，联立方程组，求得12122228,99m y y y y m m +=-=-++，结合斜率公式化简()()2228991TE TF k k tm t ⋅=--+-，得到当3t =-时，TE TF k k ⋅为定值. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c，则122F F c ==，可得c = 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，可得1217633b bAF AF b +=+=， 所以26a b =，即3a b =，又由2228c a b =-=和3a b =，解得3a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2219x y +=.（2）由已知直线l 过点()10B ,，设l 的方程为1x my =+， 联立方程组22119x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()229280m y my ++-=， 设()()1122,,,E x y F x y ，()(),00T t t <，则1221222989m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()21212222182299m x x m y y m m +=++=-+=++， ()()()22121212122991119m x x my my m y y m y y m -=++=+++=+. 又直线TE 与TF 斜率分别为11TE y k x t =-，22TF y k x t=-，则()()()()()121222221212128991TE TF y y y y k k x t x t x x t x x t t m t ⋅===----++-+-.因为0t <，所以当3t =-时，m R ∀∈，118TE TF k k ⋅=-. 所以在x 负半轴上存在定点()3,0T -，使得直线TE 与TF 斜率之积为定值. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．5．已知动点(),P x y (其中0x ≥)到定点()1,0F 的距离比点P 到y 轴的距离大1. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过椭圆221:11612x y C +=的右顶点作直线交曲线C 于A ､B 两点，其中O 为坐标原点①求证：OA OB ⊥；②设OA ､OB 分别与椭圆相交于点D ､E ，证明：原点到直线DE 的距离为定值. 【答案】（1）24y x =；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】 （1()10x x =+≥，化简可得答案.（2）直线AB 的方程为4x my =+,与抛物线方程联立，①由()()1212121244x x y y my my y y +=+++，将韦达定理代入可证明.②由①可得OD OE ⊥，设()33,D x y ､()44,E x y ，直线DE 的方程为x ty λ=+，则34340x x y y +=，由方程联立，韦达定理可得()227481t λ=+，再由点到直线的距离公式可证明. 【详解】（1）设()(),0P x y x ≥()10x x =+≥两边平方，整理得：24y x =所以所求点P 的轨迹方程为2:4C y x =.（2）①设过椭圆的右顶点()4,0的直线AB 的方程为4x my =+.代入抛物线方程24y x =，得24160y my --=.设()11,A x y ､()22,B x y ，则12124,16.y y m y y +=⎧⎨=-⎩∴()()()()21212121212124414160x x y y my my y y m y ym y y +=+++=++++=.∴OA OB ⊥.②设()33,D x y ､()44,E x y ，直线DE 的方程为x ty λ=+，代入2211612x y +=，得()2223463480t y t y λλ+++-=.于是342634t y y t λ+=-+，234234834y y t λ-=+. 从而()()223434244834t x x ty ty t λλλ-=++=+ ∵OD OE ⊥，∴34340x x y y +=. 代入，整理得()227481t λ=+. ∴原点到直线DE的距离7d ==为定值. 【点睛】本题考查求轨迹方程，考查方程联立韦达定理的应用，考查“设而不求”方法的应用，属于中档题.6．已知椭圆()3222:10x y E a b a b+=>>，以抛物线2y =的焦点为椭圆E 的一个（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点，且满足OP OA OB =+（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）3,02T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12OP TP ⋅=.【解析】 【分析】（1）利用椭圆以抛物线2y =的焦点为顶点，且离心率为2，求出,,a b c ，即可求椭圆E 的方程；（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理确定P 的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积公式，即可得到结论． 【详解】（1）抛物线2y =的焦点即为椭圆E的顶点，即a =∵离心率为2，2c e a ∴== 1c ∴=，1b ∴==∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 直线方程代入椭圆方程，可得()222124220kxkmx m +++-=122412km x x k -∴+=+，21222212m x x k -=+ 122212m y y k+=+ 2242,1212km m P k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭代入椭圆方程可得222242121212km m k k -⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭ 22421m k ∴=+设T （t ，0），Q （﹣4，m ﹣4k ），()4,4TQ t m k ∴=---，2242,1212kmm OP k k -⎛⎫= ⎪++⎝⎭∴()()22224226444121212km m m km kmtOP TQ t m k k k k -++∴⋅=⨯--+⨯-=+++ 22421m k =+()32122k t OP TQ m+∴⋅=+ ∴要使OP TP ⋅为定值，只需320t +=32t ∴=-∴在x 轴上存在一点T （32-，0），使得12OP TP ⋅=．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>5，椭圆M 与y 轴交于A ，B 两点（A 在下方），且 4.AB =过点()0,1G 直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点（不与A 重合）. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）证明：直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值.【答案】（Ⅰ）22154x y +=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由24AB b ==，55c a =，解方程组可得； （2）分直线l 的斜率0k =和0k ≠两类求解，当0k ≠时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立方程组，利用韦达定理求AC AD k k ⋅，化简可得. 【详解】（Ⅰ）解：由题意得2225524c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得521a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.∴椭圆M 的方程为22154x y +=；（Ⅱ）证明：由题意，直线l 的斜率存在，当0k =时，直线l 的方程为1y =，代入椭圆方程有x =±则C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2)A - ，(0,2)B ，2AC k ==，2AD k ==∴125AC AD k k ⋅==-，当0k ≠时，则直线l 的方程为1y kx =+.由221154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224510150k x kx ++-=.设()11,C x y ，()22,D x y ， 则1221045k x x k +=-+，1221545x x k =-+， 又()0,2A -，121222AC AD y y k k x x ++==，， ()()()()2121212122121212121233393922AC ADkx kx k x x k x x k x x y y k k k x x x x x x x x +++++++++⋅=⋅===+222222103930364512451515545k k k k k k k k ⎛⎫-+ ⎪-+++⎝⎭=+=+=---+，即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值. 【点晴】（1）第一问是常规题型，求解时注意椭圆的焦点位置；（2）第二问采用“设而不求”，利用韦达定理直接计算AC AD k k ⋅，考运算能力，化简时要细心，另因为0k =时已求出125AC AD k k ⋅=-，第二问化简时可简略书写.8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，且12 4.MF MF += （1）求椭圆C 的方程（2）过点M 作互相垂直的两条直线分别交椭圆C 于另一点A ，B ，求证：直线AB 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，13714⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）由已知得22241914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，从而可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程； （2）当直线AB 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可得212122284124343km m x x x x k k --+==++，，由MA MB ⊥可得121233(1)(1)022MA MB x x y y ⎛⎫⎛⎫=--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得337022k m k m ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得32m k =-+或13714m k =--，进而可得直线方程恒过定点，当直线AB 的斜率不存在时，设00()A x y ，，00()B x y -，，由()20002200331+-=0223412x y y x y ⎧⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩ 可求出,A B 坐标，从而可得直线方程，再验证直线是否过定点即可【详解】（1）解：由已知得222224419134a a b a b =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，，， 故所求椭圆的方程为22143x y +=．（2）证明：①当直线AB 的斜率存在时，设方程为y kx m =+， 与椭圆C 联立消去y 得222()4384120k x kmx m +++-=，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+->． 设11()A x y ，，22()B x y ，，则212122284124343km mx x x xk k--+==++，．因为MA MB⊥，所以121233(1)(1)022MA MB x x y y⎛⎫⎛⎫=--+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，121233(1)(1)022x x kx m kx m⎛⎫⎛⎫⇒--++-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22121233(1)1()1022k x x k m x x m⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒++--++-+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，代入韦达定理，整理得337022k m k m⎛⎫⎛⎫+-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32m k=-+或13714m k=--．若32m k=-+，则直线AB的方程为3(1)2y k x=-+，过点M，不符题意；若13714m k=--，则直线AB的方程为13714y k x⎛⎫=--⎪⎝⎭，恒过点13714⎛⎫-⎪⎝⎭，；②当直线AB的斜率不存在时，设00()A x y，，00()B x y-，，由()20002200331+-=0223412x y yx y⎧⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩解得17x=或1x=(舍)，此时直线AB也过点13714⎛⎫-⎪⎝⎭，．综上知，直线AB恒过定点13714⎛⎫-⎪⎝⎭，．【点睛】此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力和分类思想，属于中档题9．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左焦点为1(3,0)F-，且过点313(,)24P.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知12,A A分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线1x=上任意一点，直线12,AQ A Q分别交椭圆C 于不同的两点,M N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定点为(4,0). 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义先求解出a 的值，然后根据222b a c =-求解出2b 的值，则椭圆方程可求；（2）设出Q 点坐标，再分别联立直线12,AQ A Q 与椭圆方程从而得到,M N 的坐标，由此确定出直线MN 的方程，分析直线MN 的方程完成证明并求解出定点坐标. 【详解】（1）椭圆的一个焦点1(F ，则另一个焦点为2F ， 由椭圆的定义知:122PF PF a +=，所以2a=，解得2a =. 又2221b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为2214xy +=.（2）设1122(1,),(,),(,)Q t M x y N x y ，则直线1:(2)3t AQ y x =+，与2214x y +=联立可得()2222491616360tx t x t +++-=，所以1221649A M t x x t +=-+，所以12222168184949M A t t x x t t -+=--=++， 所以22281812234949M t t t y t t ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以22281812(,)4949t tM t t -+++， 又直线2:(2)A Q y t x =--，与2214x y +=联立可得()222241161640tx t x t +-+-=，所以2221641A N t x x t +=+，所以2222216824141N A t t x x t t -=-=++，所以222 82424141Nt ty tt t⎛⎫-=--=⎪++⎝⎭，所以222824(,)4141t tNt t-++所以直线MN的斜率为2222221244941818824941t tt tt tt t-++-+--++=2243tt-+所以直线2222122818:()494349t t tMN y xt t t-+-=--+++22(4)43txt=--+所以直线MN恒过定点，且定点坐标为(4,0).【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：（1）若设直线方程为y kx m=+或x ky m=+，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为,m k之间的线性关系，再用m替换k或用k替换m代入直线方程，则定点坐标可求；（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.10．如图，椭圆C：()221212x ymm m+=>+-的离心率32e=，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点.设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k.（1）求椭圆C的方程，并求12k k⋅的值；（2）若//AP ON，//BP OM，判断OMN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）椭圆C的方程为2214xy+=，1214k k⋅=-；（2）为定值，且定值为1. 【解析】【分析】（1）结合已知条件，利用,cc e b a===求得,,c a b 的值，由此求得椭圆C 的方程.设出P 点坐标，结合P 在椭圆上，化简求得12k k ⋅的值.（2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，联立直线MN 的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，由14AP BP k k ⋅=-求得,k t 的关系式，利用弦长公式求得MN ，求得O 到直线MN 的距离d ，由此求得OMN 的面积为定值1. 【详解】 （1）由题意得c ==c e a ==2a =，1b ==， 即椭圆C ：2214x y +=.设()00,P x y ，则222200001144x x y y ==-+⇒， 又()2,0A -，()2,0B ，则()()20201220001142244x y k k x x x -⋅===--+-. （2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，22,1,4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x ktx t ⇒+++-=， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+，()()12121212121211404044AP BP y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=，()()22121241440k x x kt x x t ++++=，()22222448414404141t ktk kt t k k -+⋅-⋅+=++即()()()2222224144324410k t k t tk+--++=，即2281640t k --=22241t k ⇒-= 22241t k ⇒=+，MN==========O到直线MN的距离d=所以112OMNS =⋅==.∴OMN的面积为定值1.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形的面积问题，考查运算求解能力，属于难题.11．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴，离心率2e=，F是右焦点，A是右顶点，B 是椭圆上一点，BF x ⊥轴，22BF =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l ：x ty λ=+是椭圆C 的任一条切线，点()12,M y -，点)22,Ny 是切线l 上两个点.证明：以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点坐标.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析，定点是()1,0-与()1,0.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的基本性质即可求解（Ⅱ）联立直线l 与椭圆方程，计算∆得，2220t λ-+=，① 设圆过定点()0,0A x ，则()012,AM x y =-，()022,AN x y =，以MN 为直径的圆过A 等价于：201220AM AN x y y ⋅=-+=.②利用①和②，化简即可求解 【详解】解：（Ⅰ）由题设椭圆的方程是()222210x y a b a b+=>>，焦点(),0F c由题22c a =① 点2,2B c ⎛ ⎝⎭，由题代入()222210x y a b a b +=>>得：222112c a b +=②222a b c =+③解得2a=，1b=.所求C的方程：2212xy+=.（Ⅱ）由2212xyx tyλ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22220ty yλ++-=，即：()2222220t y t yλλ+++-= l是切线，∴()()()22224220t tλλ∆=-+-=，化简得2220tλ-+=①设圆过定点(),0A x ，则()012,AM x y=-，()022,AN x y=，以MN为直径的圆过A等价于：201220AM AN x y y⋅=-+=.②12ytλ=，22ytλ=，21222y ytλ-∴=.代入②及①，得()()222220022221x t x tAM ANt tλ-+--⋅==，要上式值恒为0，当且仅当21x=，从而1x=±.即动圆过x轴上的定点是()1,0-与()1,0，即两个焦点.【点睛】本题考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的过定点问题，重点考查学生的运算能力，属于难题12．已知椭圆E的离心率为3e=，且经过点32M⎛⎫⎪⎪⎝⎭.（1）求椭圆E的方程.（2）设()00,P x y为椭圆E上非顶点的任意一点，若A､B分别为椭圆E的左顶点和上顶点，直线PA交y轴于D，直线PB交x轴于C，W AC BD=，问：W的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为4. 【解析】 【分析】（1）由离心率得2a b =，再代入点的坐标可得参数b 值，得椭圆方程；（2）设()0,D m ，(),0C n ，用00,x y 表示,m n ，然后计算W AC BD =，并代入220044x y +=可得结论．【详解】解：（1）设椭圆方程为22221x y a b +=，(0)a b >>．2c e a b a =⇒=⇒=， 设椭圆方程为222214x y b b+=，又椭圆过点1,2M ⎛ ⎝⎭，所以2214144b b +=，解得1b =， 故椭圆方程为2214x y +=.（2）设()0,D m ，(),0C n ，由A ､D ､P 共线可知00002222AP AD y y mk k m x x =⇒=⇒=++， 由B ､P ､C 共线可知0000111BP BC y xk k n x n y --=⇒=⇒=-. 00000222211x x y AC n y y +-=+=+=--，000002221122y x y BD m x x +-=-=-=++.∴()()()00002212x y W AC BD y x +-==-+2200000000004444822x y x y x y x y x y ++-+-=-+-+，由于220044x y +=，∴000000004488422x y x y W x y x y -+-+==-+-+.【点睛】方法点睛：椭圆中定值问题解决方法，由于00(,)P x y 是动点，因此可以把,C D 的坐标用00,x y 表示，然后计算W AC BD =，再代入动点坐标满足的性质，化简可得．即引入参数，利用参数计算结论，然后化简使得结论与参数无关，即得定值． 13．在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P在圆上运动时，线段PD 上有一点M，使得DM =， （1）求M 的轨迹的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过原点O ，求证：点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先设(),M x y ，()00,P x y ，根据题意，得到22003x y +=，00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可求出结果；（2）先设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意得到12120OA OB x x y y ⋅=+=，推出()()22121210k x x km x x m ++++=，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，以及题中条件，得出22334k m +=，再由点到直线距离公式，即可得出结果. 【详解】（1）设(),M x y ，()00,P x y ，由题意可得，22003x y +=，003x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入22003x y +=，整理得2213x y +=；即所求M 的轨迹的方程为2213x y +=；（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 因为以AB 为直径的圆经过原点O ，所以2AOB π∠=，则12120OA OB x x y y ⋅=+=，即()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210kx xkm x x m ++++=；联立2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2233kx x m ++=，整理得()222136330k xkmx m +++-=，则12221226133313km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，()()222236121301k m k m ∆=+->-，即2213m k <+， 所以()22222336131310kk k m m m km k --+++⋅⋅+=，整理得222433130m k k --+=，则22334k m +=， 满足2213m k <+，又点O 到直线AB====为定值. 【点睛】 方法点睛：由相关点法求轨迹方程的一般步骤：（1）设轨迹上任意一点的坐标，以及其相关点的坐标；（2）根据题意，得出两点坐标直接的关系，用所求点表示其相关点的坐标，代入已知曲线方程；（3）化简整理，即可得出结果.14．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，12||2F F ，M是椭圆E 上的一个动点，且12MFF △ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若(,0)A a ，(0,)B b ，四边形ABCD 内接于椭圆E ，//AB CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12MF F △2a =，b =（2）根据题意可知(2,0)A，B ，因为//AB CD ，所以可设直线CD的方程为()()1122(,,,y x m m D x y C x y =+≠.将斜率用C,D 的横坐标进行表示，再整体消元，即可得答案； 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12MF F △所以2221122c c b a b c=⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，所以2a =，b =E 的标准方程为22143x y +=.（2）根据题意可知(2,0)A，B ，因为//AB CD ，所以可设直线CD的方程为()()1122(,,,y x m m D x y C x y =+≠.由22143x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y可得2264120x m -+-=，所以123x x +=，即123x x =-.直线AD的斜率11111222x m y k x x +==--，直线BC的斜率222222x m y k x x +-==，所以121212222x m x m k k x x ++-=⋅-()()121211233(4222x x x x x m m x x +++-=-()1221233(422x x x m m x x ⎫-+-+-⎪⎝⎭=- ()1221233422x x x x x -=-34=，故12k k 为定值. 【点睛】利用待定系数法求椭圆的方程；设出点的坐标和直线方程，再将斜率用直线方程中的某个变量进行表示，最后利用整体消元是求解定值问题的常见思路.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y --=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，直线AM 与椭圆交于点P （与A 点不重合），以MP 为直径的圆交线段BP 于点N ，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离等于半径，计算可得b ，由离心率列方程，计算可得结果； （2）设()2,M t ，写出直线AM 的方程为：(2)4ty x =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得P 点坐标，由已知可得MN BP ⊥，求出PB k ,即可得出MN k ,进而得出直线MN 的方程，化简可知过定点()0,0.【详解】（1）由题知，原点到直线20x y --=的距离d ==b ∴=2e =2= 2a ∴=.∴椭圆C 方程为22142x y += .（2）设()2,M t ，则直线AM 的方程为：(2)4ty x =+ 联立22(2)424t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y 得，()2222844320t x t x t +++-=. 224328A P t x x t -⋅=+，由2A x =-得221628P t x t -=+，()28248P P t t y x t =+=+ 故222828162228P PBP ty t k t x tt +===----+.又以MP 为直径的圆上与线段BP 交于点N ，则MN BP ⊥MN 12PB t k k ∴=-=. 故直线MN 方程为(2)2t y t x -=-，即2t y x =. ∴直线MN 过定点()0,0O . 【点睛】本题考查椭圆的性质，考查直线和椭圆的位置关系，恒过定点问题，属于中档题. 16．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，M 为直角坐标平面上的动点，过动点M 作l 的垂线，垂足为点Q ，且满足()0QF MQ MF ⋅+=，记M 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）是，1,0和3,0.【解析】 【分析】（1）设(,)M x y ，则()1,Q y -，再由()0QF MQ MF ⋅+=可得()()2,2,0y x y -⋅--=，化简可得所求轨迹方程；（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩，则124y y m +=，124y y =-，由题意可得直线OP 的方程为1114y y x x x y ==，直线OQ 的方程为24y x y =，则141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，241,B y ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可求出AB 中点T 的坐标()1,2T m -，再求出AB ，可得圆的半径，进而可求出圆的方程，从而可得答案 【详解】（1）设(,)M x y ，∴点()1,0F ，直线:1l x =-，()1,Q y ∴-，∵()0QF MQ MF ⋅+=.()()22,2,40y x y x y ∴-⋅--=-+=，∴C 的方程为24y x =.（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，整理得：2440y my --=，216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-，直线OP 的方程为1114y y x x x y ==， 同理：直线OQ 的方程为24y x y =， 令1x =得，141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，241,B y ⎛⎫⎪⎝⎭，设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ，则1T x =，()12121244222T y y y y y my y ++===-， 所以()1,2T m -.122112444A y y y y y yB -==-==圆的半径为r =所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+. 展开可得()22144x y my -++=，令0y =，可得()214-=x ，解得3x =或1x =-. 从而以AB 为直径的圆经过定点1,0和3,0.【点睛】此题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查定点问题，属于中档题。