教学片断与案例1、综合法和分析法的一个教学片断师：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的．观察、思考下列证明过程各有什么特点？它们是以怎样的形式使结论获证的？引例1已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥证明：因为222,0b c bc a +≥>，所以22()2a b c abc +≥，因为222,0c a ac b +≥>，所以22()2b c a abc +≥.因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥.引例2已知,a b R +∈，求证：2a b +≥证明：要证2a b +≥，只需证a b +≥，只需证0a b +-，只需证20≥因为20≥显然成立，所以原不等式成立．引例3已知0,0,0>>++>++abc ca bc ab c b a .求证：0,,>c b a 证：设0<a ，∵0>abc ，∴0<bc又由0>++c b a ，则0>-=+a c b∴0)(<++=++bc c b a ca bc ab ，与题设矛盾又若0=a ，则与0>abc 矛盾，∴必有0>a . 同理可证：0,0>>c b设计意图：通过三种证明方法案例的展示，引导学生观察、比较、辨析、思考三种证明方法的形式、特点，为归纳、抽象、概括三种证明方法提供感性认识，也为理解不同证明方法的表述形式打下基础．引例1、2的方法是本课要学习的重点内容，引例3的方法（反证法）是下一课的学习任务，在此给出引例3有两方面的作用，一方面，让学生对不同方法有一个整体认识与了解，另一方面，为下一课的学习作好铺垫．对三个引例，引导学生分两个层次比较、归纳．第一层次的比较，是否直接针对结论进行证明？得出直接证明与间接证明；第二层次的比较，是引例1、2之间，证明的起点及逻辑推理形式，由此可引导学生归纳、概括出本课重点学习的两种方法：综合法与分析法．2、归纳探索的一个教学片断问题情境：（河内塔游戏）传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用.①每次只能移动1个圆环；②较大的圆环不能放在较小的圆环上面.如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了.请你推测：把64个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?启发性思考：首先，你是否理解了这个问题？是否理解清楚了圆环的移动规则？是否明白了问题要求什么？然后，你打算怎样考虑这个问题？能否把问题化简单、化容易一些？怎样的情况会更简单、更容易呢？（为归纳作准备，逐步形成归纳意识）【评析】这一系列的启发性思考问题，在于引导学生在面对一个新问题或较难的问题时，首先要准确理解好问题，然后学会寻找问题的切入点．生成预设：片数较少的情况会更简单、更容易，先考虑片数较少的情况，看看1片、2片、3片、…，等情况，再找找方法规律或联系，考虑解决更难、更一般的情况.操作实验：（1）可先让学生进行适当的思想实验，想明白1片、2片、3片时的情况，并引进符号n a 表示n 片圆环的移动次数；（2）再用课前备好的四个大小不一的圆环，让两位学生对2个、3个、4个圆环的情况分别进行实际操作试验，其他学生注意观察并思考规律．生成预设：（1）表面的试验观察结果可能只是,15,7,3,14321====a a a a ，进而发现规律1234121,321,721,1521=-=-=-=-，…，猜想646421a =-．（2）更进一步的试验、观察可能发现：,8421,421,21,14321+++=++=+==a a a a ．即：对于两个圆环，底下一个只要移动1次，上面一个则要移动2次；对于3个圆环，由下到上，第1个只要移动1次，第2个需要移动2次，第3个则要移动4次；对于4个圆环的情况可作同样解释．进而猜想1222216463264-=++++= a ．（3）更深入的试验、观察、思考可能发现更本质的移动规律，在理性的层面上解决问题：移动n 个圆环时，只要化归为移动1-n 个圆环即可，第一步，先把上面的1-n 个圆环按要求移到2号针上，需移1-n a 次；第二步，把最底下的第n 个圆环移到3号针上，需要移1次；第三步，再把2号针的1-n 个圆环移到3号针，需要再移1-n a 次，从而得121+=-n n a a ，这样就可依次求得各种圆环数的移动次数，或转化为等比数列)1(211+=+-n n a a ，结合11=a ，求得通项1221-⋅=+n n a ，即12-=n n a ．【评析】移动3个、4个圆环的情况，学生可能会有一些困难．要根据学生的实际情况，给予适当的点拨、提示，或质疑启发．（1）缺乏思维指导的学生可能只是盲目地、孤立地试验各种情况，这样，要试验求出3a 、4a 就更困难，而求出3a 、4a 对于归纳猜想又是关键所在．（2）预设（2）体现了更进步的观察、归纳，是注意到试验中每个圆环的移动次数规律性，从这样的角度，可能更有利于得出3a 、4a ．（3）预设（3）则体现了更深的理性思考，这要从联系与转化的角度进行观察、思考．让学生进行实际的试验操作，给学生以感性体验，并通过动手操作，促进思维领悟，这也体现了一种思维训练，在这过程中，也能体现学生不同的思维层次与多种思维品质，对激发学生的探究兴趣也可能有积极的作用．另外，从省时的角度，也可考虑运用多媒体课件进行移动圆环的演示实验，并引导学生进行观察、思考，这种技术手段同样能产生较好的直观效果，也有利于学生的观察发现，但这种观察有一定的被动性．在教学中，如何挖掘不同层次的学生思维潜能，让学生感受不同角度、不同层次的观察、思考，归纳、概括，是值得我们教师下功夫的地方，相信这对学生的思维训练是大有好处的．3、案例案例1：头上戴的帽子的颜色（华罗庚的例子）有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明．他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色．3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
聪明的你，想想看，他们是怎样推算出来的呢？他们怎样能够从别人头上帽子的颜色，正确地推断出自己头上帽子的颜色的呢？“为了解决上面的伺题，我们先考虑“2个人，1顶黑帽，2顶白帽”问题．因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽．但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽．这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了．假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子．看到这里。
同学们可能会拍手称妙吧．后来，华罗庚还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解．他并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃．简化问题：有位老师想辨别他的二个学生谁更聪明. 他采用如下的方法：事先准备好两顶白帽子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让他们闭上眼睛. 老师给他们戴上帽子，并把剩下的那顶帽子藏起来. 最后让学生睁开眼睛，看着对方的帽子，说出自己所戴帽子的颜色. 两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿，然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子” .聪明的各位，想想看，他们是怎么知道的？这里的思维方式就是推理.案例2：探索活动是如何进行的？（华罗庚的例子）面对着一个装有不明物的袋子，观察者问自己，这袋子里装的是什么？于是探索活动开始了。
从一个袋子里摸出的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时，我们会出现另一种猜想：“是不是袋里的东西全都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时，我们又会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续加以检验，要把袋里的东西全部摸出来，才能见个分晓。
袋子里的东西是有限的，迟早总可以把它摸完，由此可以得到一个肯定的结论，但是，当东西是无穷的时候，那怎么办？如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的东西，也一定是红玻璃球”，那么，在这样的保证之下，就不必费力去一个一个地摸了。
只要第一次摸出来的确实是红玻璃球，就可以不再检查地作出正确的结论：“袋里的东西全部是红玻璃球”。
华罗庚举的这个例子，是对简单枚举归纳推理结论性质的一个通俗说明。
人们应用简单枚举归纳推理，当然可以从为数不多的事例中推导出普遍的规律性来，然而这还是一个“猜想”。
这种猜想对不对，还必须进一步加以验证。
因为对于不完全归纳推理来说，结论所断定的范围超过了前提所断定的范围，所以，它的结论就不具有必然性，它可能真，也可能假。
从一个袋子里摸球，连续摸了五次，摸的都是红玻璃球，这时候，我们可以通过简单枚举归纳推理得出结论：“这个袋子里装的都是红玻璃球。
”但是，你在得出这个结论时，必须清醒地认识到这个结论是不可靠的。
正如这个例子所表明的，你第六次摸出的，却是白玻璃球了，这就把你的这个结论推翻了。
因此，当你摸了六个球时，虽然可以得出“这个袋子里装的都是玻璃球”的结论；摸第七个球时，可以得出“这个袋子里装的都是球”的结论，但必须明白，这些结论同样都是或然的。
总而言之，我们在进行简单枚举归纳推理时，必须充分估计到其结论的或然性。
案例3：我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油；案例4：三角形的内角和为，四边形的内角和为，五边形的内角和为，……，所以边形的内角和为；案例5[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin x x<b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．（2）思考：设xx x g sin )(=，探索)(x g 的上界与下界， 考虑单调性0)(sin cos )('22<=-=x x f x x x x x g ，)(x g 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递减， 故有)0()()2(g x g g <<π，又ππ2)2(=g ，从而下界是π2； 但)0(g 没有意义，这就得不到上界。