学号：课程设计单级移动倒立摆建模及串联超前题目校正学院自动化学院专业自动化专业班级自动化0904班姓名小白牙指导教师2012 年 1 月 4 日课程设计任务书学生姓名： 小白牙 专业班级： 自动化0904班指导教师： 工作单位： 武汉理工大学题 目: 单级移动倒立摆建模及串连超前校正 初始条件：要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）； 2、要求系统输出动态性能满足,1%,3.4%s t s ≤≤σ试设计串连超前校正装置。
3、 用Matlab 对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域相应有何区别，并说明原因。
时间安排：任务时间（天）审题、查阅相关资料1.5 分析、计算2.5 编写程序 2.5 撰写报告1图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。
由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。
2/10,1,1.0,1s m g m l kg m kg M ====指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录摘要 (4)1.单级移动倒立摆系统建模 (5)1.1非线性化数学模型 (5)1.2 线性化数学模型 (7)2.倒立摆系统的串联超前校正 (9)2.1未校正系统的输出动态性能 (9)2.2 倒立摆系统的串联超前校正 (10)2.3校正后系统的输出动态性能 (14)3 .校正前系统与校正后系统的比较 (15)3.1 校正前系统的仿真 (15)3.2 校正后系统的仿真 (17)3.3 校正前系统与校正后系统的比较 (18)心得与体会 (20)参考文献 (21)本科生课程设计成绩评定表 (22)摘要倒立摆系统作为控制理论研究中一种比较理想的实验手段，以自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论的或方法的典型方案，促进了控制系统新理论的、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用和开发前景。
平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
AbstractInverted pendulum system in control theory as an ideal experimental tool to automatically control the teaching of theory, experiment and research to build a good experimental platform used to test a theory or method of control typical of programs to promote the new theory of control systems, the development of new ideas.Because of the extensive application of control theory, which produces systematic study of methods and techniques will be precision instruments in the semiconductor processing, robot control, artificial intelligence, missile defense control systems, air docking technology, rocket launchers in the vertical control, satellite flight the attitude controland general industrial applications has extensive use and development prospects. Planar inverted pendulum can be more realistic simulation of the rocket's flight control and stability control walking robotic research.单级移动倒立摆及串联超前校正1.单级移动倒立摆系统建模1.1非线性化数学模型单级移动倒立摆实验建模是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，利用数学手段建立系统的输入-输出关系。
单级移动倒立摆系统，本身是一个不稳定的系统，非线性化模型很明显，为了降低建模的难度，经过忽略一些次要因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统，利用力矩平衡和牛顿经典力学定律就得建立起动力学方程。
图1-1 倒立摆模型系统组成的框图如图1-2所示。
施加外力 运动状态摆角θ图1-1示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。
由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。
2/10,1,1.0,1s m g m l kg m kg M ====图1-2 单级倒立摆系统组成框图系统通过给小车施加外力，使摆杆与小车相互作用，达到平衡，维持不倒。
小车受力分析如图1-3所示。
假设系统的初始条件为0，小车与参考面的距离为x ，摆杆与垂直方向的夹角为，u 为加在小车上的外力。
L 为摆杆的长度，m 为摆杆的质量，M 为小车的质量，I 为摆杆的转动惯量。
PN u图1-3 小车受力图分析小车水平方向受力得；u N Mx -= (1-1)摆杆受力分析如图1-4所示。
P θmgN图1-4 摆杆受力图 分析摆杆水平方向受力得：22(0.5sin )''''0.5(cos ')'''0.5(sin '+cos '')''0.5sin '0.5cos ''N m x ml mx ml mx ml mx ml ml θθθθθθθθθθθ=+=+=+-=-+ (1-2)由公式（1-1）+（1-2）得：2()''0.5sin '0.5cos ''u M m x ml ml θθθθ=+-+ （1-3）对摆杆垂直方向的受力分析220.5(cos 'sin '')0.5cos '0.5sin ''P mg ml P mg ml ml θθθθθθθθ-=--=--垂直方向根据力矩平衡得：0.5sin 0.5cos ''Pl Nl I θθθ-=0.5sin 0.5cos ''Pl Nl I θθθ-=代入N 和P 化简式子：222220.5sin 0.25''0.5cos ''''(0.25)''0.5sin 0.5cos ''(0.25)''0.5cos ''0.5sin 0/12''/30.5cos ''0.5sin 0mgl ml ml x I I ml mgl ml x I ml ml x mgl I ml ml ml x mgl θθθθθθθθθθθθθ--=+=-++-==+-=代入上式通过分别对小车和摆杆的受力分析可知，线性化后系统的运动方程组为：2()''0.5sin '0.5cos ''u M m x ml ml θθθθ=+-+2''/30.5cos ''0.5sin 0ml ml x mgl θθθ+-= （1-4）1.2 线性化数学模型为了避免复杂的求解微分方程的运算以缩短实时的控制系统的响应时间，考虑摆角θ在操作点00θ=附近的微小变化，根据倒立摆的垂直位置可以近似为：cos θ=1, sin θθ≈，2'θθ=0。
代入方程组（1-4），得简化公式组2()''+0.5''u ''/30.5('')0m M x ml ml ml x g θθθ+=+-= （1-5）假设系统的初始输入条件为0，对方程组（1-5）进行Laplace 变换得到方程组为：22222()()0.5()()0.5()()/30.5()0M m s X s mls s U s mls X s ml s s mgl s ++Φ=+Φ-Φ=（1-6）由（1-6）方程组的第一个方程可解22()0.5()()U s mls s X M m s -Φ+(s)=（1-7）把（1-7）代入方程组（1-6）的第二个方程整理得：22222[0.5/3]()0.5()4()m l smgl ml s s mlU s M m -+Φ=+得出22222()0.5()0.5/34()s mlm l s U S ml ml s M m Φ=-++（1-8）把已知数据代入等式（1-8）得2()1()()0.610s G s U s s Φ==--（1-9）则系统的传递函数如图1-5所示()s图1-5 倒立摆系统的传递函数2.倒立摆系统的串联超前校正2.1未校正系统的输出动态性能用如下程序将传递函数的根轨迹在MATLAB 中显示出来num=[-1] den=[0.6,0,-10] rlocus(num,den)根轨迹图如图2-1所示-20-15-10-505101520-2-1.5-1-0.50.511.52Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s图2-1 传递函数的根轨迹用下列程序将传递函数的波特图在MATLAB 中显示出来num=[-1] den=[0.6,0,-10] bode(num,den)波特图如图2-2所示-80-70-60-50-40-30-20M a g n i t u d e (d B)10101010-2-1012P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/sec)图2-2 传递函数的波特图根据开环传递函数的根轨迹可知，其极点存在S 平面的右半平面，可知系统处于不稳定状态。