完全平方数
一、完全平方数常用性质
1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能整除a 。

2.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
模块一、完全平方数基本性质和概念
基础练习、指出下列哪些是平方数？
1156，5487，5329，8008。

1． 在3240,8972,2116，2475,2400这五个数中，哪几个是完全平方数？
2.正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 …,那么第85 个位置上的数字是几
【例 1】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
1、在50～400中，有多少个平方数？
2、在50～761中有多少个平方数？
例题精讲 知识点拨
3、123×134的积是平方数吗？
4、一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【例2】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
2、46035乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。

3、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。

【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。

1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（）。

2、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（）岁。

3.求一个能被180整除的最小完全平方数.
【例4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
1、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
2、三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的
差为60，求这三个数．
3、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

4.某校2001年的学生人数是个完全平方数。

该校2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是完全平方数。

该校2002年学生人数是多少？
5、（02甘肃冬令营）有一个自然数，它与168的和恰好等于某个数的平方；它与100的和恰好等于另一个数的平方，这个数是（）。

【例5】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
1、求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数.
2、矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。

【例6】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
1、(2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案)
3、一本故事书，如果每天读70页，5天读不完，6天又有余。

如果每天读65页，6天读不
完，7天又有余。

如果每天读k页（k是整数），正好k天读完。

这本书有多少页？
【例7】A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和
为．
1、试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。

2.一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和是一个完全平方数,求这样的两位数.
【随练1】一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
【随练2】1988与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【作业1】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【作业2】2007与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【作业3】一个数的完全平方有35个约数，求该数的约数个数是多少？
【作业4】从1到1997的所有自然数中，乘以90后是完全平方数的数共有多少个？。