5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库 教师版1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答【解析】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法例题精讲知识点拨教学目标5-4-4.完全平方数及应用（一）来求解：121＝211；12321＝2111；1234321＝21111……，于是，我们归纳为1234…n …4321=2(1111)L 123n 个1，所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方．【答案】7777777【例 2】 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】 212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，原式22(11111117)7777777=⨯=．【答案】7777777【例 3】 已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。

【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第9题【解析】 （法1）先将12！分解质因数：105212!235711=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235⨯⨯，所以n 最小为104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。

（法2）12!除以n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n 的最小值是3711231⨯⨯=。

【答案】231【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答【解析】 平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．【答案】1444【例 5】 A 是由2002个“4”组成的多位数，即200244444L 14243个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】2200242002444421111A ==⨯L L 14243123个个1．如果A 是某个自然数的平方，则20021111L 123个1也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而200220011111111110-=L L 123123个1个1不是4的倍数，矛盾，所以A 不是某个自然数的平方．【巩固】 A 是由2008个“4”组成的多位数，即444L 1232008个4，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】不是．{24442111A ==⨯L L 1232008个12008个4假设A 是某个自然数的平方，则{111L 2008个1也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而{{11111110-=L L 2008个12007个1不是4的倍数，与假设矛盾．所以A 不是某个自然数的平方．【例 6】 计算1111L 1232004个1－2222L 142431002个2=A ×A ，求A ．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答【解析】 此题的显著特征是式子都含有1111L 123n 个1，从而找出突破口.1111L 1232004个1－2222L 142431002个2=1111L 1231002个10000L 142431002个0－1111L 1231002个1=1111L 1231002个1×（10000L 142431002个0-1）=1111L 1231002个1×（9999L 142431002个9）=1111L 1231002个1×（1111L 1231002个1×3×3）=2A所以，A ＝3333L 142431002个3.【答案】3333L 142431002个3【例 7】 ①22004420038444488889A =L L 1424314243个个，求A 为多少?②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答【解析】 ① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有2004420038444488889L L 1424314243个个可以看成48444488889L L 1424314243n 个n-1个，其中n ＝2004；寻找规律：当n =1时，有2497=；当n =2时，有2448967=；当n =3时，有2444889667= ……于是，类推有2004420038444488889L L 1424314243个个=22003666667L 14243个方法二：下面给出严格计算： 2004420038444488889L L 1424314243个个=444440000L L 14243142432004个2004个0+20048888L 14243个8+1； 则444440000L L 14243142432004个2004个0+20048888L 14243个8+1＝1111L 1232004个1×（4×010000L 142432004个+8）+1 ＝1111L 1232004个1×［4×（99999L 142432004个+1）+8］+1 ＝1111L 1232004个1×［4×（99999L 142432004个）+12］+1 ＝2(1111)L 1232004个1×36+12×1111L 1232004个1+1＝2(1111)L 1232004个1×36+2×（6×1111L 1232004个1）+1 ＝22(666661)(66667)+=L L 14243142432004个62003个6② 由①知4444488889L L 1424314243 n 个n-1个8＝266667L 14243n-1个6，于是数字和为(4n +8n -8+9)=12n +1；令12n +1=2005解得n =167，所以4444488889L L 1424314243 167个166个8=266667L 14243166个6。

所以存在这样的数，是4444488889L L 1424314243 167个166个8【答案】（1）22003666667L 14243个,（2）4444488889L L 1424314243 167个166个8=266667L 14243166个6模块二、平方数特征（1） 平方数的尾数特征【例 8】 下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【答案】不是【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4星 【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第10题【解析】 4914925=+++，1,2,3,5全排列共有24个。