180 rad＝3× π ° ＝57.30° ×3＝171.90° .
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数学[RB· 必修4]来自角度制与弧度制换算时应注意的三个问题 (1)用弧度为单位表示角的大小时， “弧度(rad)”可以省略不 写；如果以度(° )为单位表示角的大小时，度(° )不能省略. (2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度. (3)有些角的弧度数是 π 的整数倍时，如无特别要求，不必 把 π 化成小数.
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(2)设分针旋转过程中所扫过的圆心角为 α，弧长为 l，则所 1 1 1 π 2 扫过的面积是 S＝2lR＝2|α|R ＝2×2×102＝25π(cm2).
【答案】 (1)2 (2)25π cm2
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用弧度表示终边相同的角
已知角 α＝2 010° . (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出 α 是 第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与 α 终边相同的角.
【思路探究】 (1)可将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的
π ＋2kπ(k∈Z)与 k· 360° ＋ 都是不允许的.表示角时，要么全用角度 6 制，要么全用弧度制.
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【正解】
由－1 485° ＝－5×360° ＋315° ，
7 所以－1 485° 可以表示为－10π＋4π.
7 【答案】 －10π＋4π
【提示】 1 度.
2.在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ 【提示】 确定.
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(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做 角度制 ， 1 规定周角的360为 1 度的角．其中 60分 等于 1 度，60 秒等 于 1 分． (2)弧度制： 长度等于 半径 长的圆弧所对的 圆心角 叫做 1 弧度的角，记作 1 rad.以 弧度 为单位来度量角的制度叫做 弧度制．
因角度制与弧度制混用而出错 将－1 485° 化成 2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为 ________.
【错解】 因为－1 485° ＝－4×360° －45°
＝－4×360° ＋(－360° ＋315° )＝－5×360° ＋315° ， 所以－1 485° 化为 2kπ＋α 形式应为－10π＋315°
●三维目标 1.知识与技能 (1)理解弧度的意义.(2)了解角的集合与实数集R之间可建立 起一一对应的关系.(3)熟记特殊角的弧度数. 2.过程与方法 能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的 弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题.
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1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间 课标解读 的换算. 2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.(重点)
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度量角的两种单位制
【问题导思】 1.在初中学过的角度制中，把圆周角等分成 360 份，其中的 一份是多少度？
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将下列各角度与弧度互化： 5 7 (1)12π；(2)－6π；(3)－157° 30′. 5 5 【解】 (1) π rad＝ ×180° ＝75° ； 12 12
7 7 (2)－ π rad＝－ ×180° ＝－210° ； 6 6 π (3)－157° 30′＝－157.5° ＝－157.5×180 rad＝ 7 －8π rad.
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【解析】 为 l cm， 2r＋l＝8， 由题意1 l· r＝4， 2
l＝4， 解得 r＝2，
(1)设扇形的半径为 r cm，圆心角为 α rad，弧长
又由 l＝α· r， l 4 所以 α＝r＝2＝2(rad).
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(2)特殊角的弧度数
角度 弧度
0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 0 π 12 π 6 π 4 π 3 5 12π π 2 2 3π 3 4π 5π 6
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 π 7 π 6 5π 4 4π 3 3 π 2 5π 3 7 π 4 11π 6 2π
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角度制与弧度制的换算
【问题导思】 角度制和弧度制都是度量角的单位制， 它们之间如何进行换 算呢？
【提示】 利用 1 弧度角的定义进行换算.
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(1)角度制与弧度制的换算
2π π
2π
π
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扇形的弧长、面积公式的应用
已知扇形的周长为 20 cm，当它的半径和圆心角各 取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【思路探究】 先用半径 r 表示弧长，再建立扇形面积 S 与 半径 r 之间的函数关系，进而求出最大值.
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3.情感、态度与价值观 (1)通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异 创新的精神. (2)通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对 比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.
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●重点、难点 重点：弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证 明. 难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系.
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教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
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(教师用书独具)
形式，根据 β 与 α 终边相同判断. (2)关键在于由－5π≤β＋2kπ＜0 求出 k 的取值.
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【自主解答】 7π 3π 又 π＜ ＜ ， 6 2
π 67π 7π (1)2 010° ＝2 010× ＝ ＝5×2π＋ ， 180 6 6
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1.明确 1 弧度的含义是掌握本节问题的关键. 2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化 弧度 π 时，可牢记以下公式： ＝ ，只要将已知数值填入相应位 180 角度 置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可. 3. 弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记 忆. 4.引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的 弧长和面积公式变得更加简洁， 也建立了角与实数间的一一对应 关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.
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用弧度来表示终边相同的角： 所有与角 α 终边相同的角， 连同角 α 在内， 构成的集合用弧 度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里 α 应为弧度数.
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(1)(2014· 长沙高一检测)把－1 125° 化为 2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜ 2π)的形式是( π A.－6π－4 π C.－8π－4 ) 7π B.－6π＋ 4 7π D.－8π＋ 4
【思路探究】 依据换算关系 π rad＝180° ，逐个角进行转 化.
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【自主解答】
π 3π (1)67.5° ＝ rad×67.5＝ rad. 180 8
π 5π (2)112° 30′＝112.5° ＝ rad×112.5＝ rad. 180 8 9 9 (3)4π rad＝4×180° ＝405° . (4)3
7π 所以 α 与 6 终边相同，是第三象限的角.
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7π (2)与 α 终边相同的角可以写为 γ＝ 6 ＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤γ＜0， 29 ∴当 k＝－3 时，γ＝－ 6 π； 17 当 k＝－2 时，γ＝－ 6 π； 5 当 k＝－1 时，γ＝－6π.
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(1)(2014· 杭州高一检测)设扇形的周长为 8 cm， 面积为 4 cm2， 则扇形的圆心角的弧度数是________. (2)(2014· 绵阳高一月考)经过一刻钟， 长为 10 cm 的分针旋转 过程中所扫过的面积是________.
25 7π 【解析】 －1 125° ＝－ 4 π＝－8π＋ 4 . 【答案】 D