是什么位置
的平面？ a
b
b
类似性
c c
a
积聚性
βc
b
aγ
投影特性：
铅垂面
在平面垂直的投影面上的投影积聚成
直线段。该直线段与投影轴的夹角反映空 间平面与另外两投影面夹角的大小实形。
另外两个投影面上的投影是类似形。
铅垂面迹线表示法
P PH

PH

37
3. 投影面平行面
积聚性
a b
积聚性
① a
x
a
判断点C是否在线段AB上。
b c
② a
c●
b
c
bo
x
ac
o
b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例题 判断点K是否在线段AB上。
a
a
k● b
x
a k●
●k b
因k不在ab上， 故点K不在AB上。
b
另一判断法? 应用定比定理
四、 两直线间的相对位置关系
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉
B
A b
a
b a
证明：设因直角边BC//H面
C
BC⊥AB
BC⊥Bb BC∥bc
所以 BC⊥ABba平面
c
H
故 bc ⊥ABba平面
c
因此 bc⊥ab
即 ∠abc为直角
.b
a
c
直线在H面上的 投影互相垂直
交叉垂直的两直线的投影
AB垂直于MN,且AB平行于H面,则有ab mn
例 过点A作EF线段的垂线AB b′ f′
c
b
b
3.4 直线与平面及平面与平面的位置关系
一、 直线与平面、平面与平面平行
1. 直线与平面相互平行
如果一条直线 平行于平面内 的任意一条直 线，则该直线 与该平面互相 平行。
1 、直线与平面平行
几何条件：一直线只须平行 于平面上一直线，直线则平
P
行于该平面。
2 、两平面相互平行
几何条件：一平面内的两相交

ab
b′ AB
| ZA-B |

ab o
b | ZA-B |
AB
15
求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
V
b′
B
AB b′
a′

x B1 A
| YA-B | a
o b
AB a' b'
| YA-B |
a′
x
o
a' b'

b
AB a | YA-B |
| YA-B |
返1回6
求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
●
x o
●
d
a●
c a●
●
● b x ● b o a●
c
●
● b ●b
o
●c
● c
● c
●c
●c
不在同一 直线及 两平行直 两相交 平面
直线上的 线外一 线
直线
图形
三个点 点
2、 迹线表示法
指平面与投影面的交线
PV
P
PH QV
Q QH
PV
PH QV
QH
33
二、 各种位置的平面
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
§3.2 直线的投影
确定：将两点的同面投影用直线连
接，就得到直线的同名投影。
X
直线与投影面的相对位置
a●
Z ●a
b
●
● b
O
Yw
a● b● YH
A●
M● B●
●
a≡b≡m
B
●
A●
●b a●
●B
α A●
●b a●
直线垂直于投影面 直线平行于投影面
投影重合为一点 投影反映线段实长
积聚性
ab=AB
e′
x
e
b
a′ o
a f
例 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。
b′
f′
e′
c′
x eb
a′ d′
o ad
f c
§3.3 平 面 的 投 影
一、 平面的表示方法
1、几何元素表示法：
c
●
c
●
a●
a●
a●
x
●b x ●b x
●b o
●b o
a●
a●
a●
c
●
● b ●b
d a●
b
n
空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，
k
a
1(2) ●
●
x m
其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 c 为K点的水平投影。
作图
m ●2
① 求交点 c ② 判别可见性
●
a
●
1
b
k
由水平投影可知，KN n 段在平面前，故正面投
影上kn为可见。
还可通过重影点判别可见性。
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
一、 各种位置的直线
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线
侧平线（平行于Ｗ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
方法一：利用积聚性求交点
c 'b '
e'
k' d'
X
a'
O
d
ek (a) b
c 当相交的两个元素中有一个是特殊位 置时，从有积聚性的投影下手解题
(3)直线为特殊位置
b m
空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其
k●
水平投影积聚成一个点，
例题：已知平面ABC内的点D的正面投影， 求其水平投影。
c' a'
d'
b' b
d
c
a
例题：判定点K、E点是否在平面ABC内。
c'
a'
不在！
e'
k' b'
b
k
e
a
c 在！
平面是可以无限延伸的
例题： 完成平面ABCD的投影。
a' d'
c' b'
d
a
o
c
b
（二） 平面上的投影面平行线
特点：
1 在平面上 2 具有平行线的 投影特征
⒊ 两直线交叉
a c'
1(2
)
3 ●
●
●4
c a
2
●
●
●
1
3(4 )
d
两投为直影什线么特相？交性吗：？
b ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间
b 一个点的投影规律。
d ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影，
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 用其可帮助判断两直线 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 的空间位置。
第3章 点、直线、平面的投影 概述
§3.1 点的投影
一、点的两面投影
a'
V
a'
证明
X
ax
投影规律：
aa ' OX
a
aax=Aa ' a 'ax=Aa
OX
A
ax
AA12 O
a
点的投影
例题3-1：根据投影图判断点在空间的位置
b'
V
B
X
a'
b
c' c
O
C
a A
二、点的三面投影
1.三面投影体系
2.点的三面投影
上，直线的投影平行于平面 的积聚性投影。
2. 平面与平面平行 在平面所垂直的投影面
上，两平面的积聚性投 影相 互平行。
A M Na
m(n)
C DF
cd
E
B fe
b
直线与平面平行
C
A
D
F
H
cd
E
ah
B fe
b
平面与平面平行
例题3.4.3：判定直线AB,与平面ECD是否平 行。
例题三
b'
d'
a'
c'
e'
换面法：
原则： 1 有利于解题 2 新投影面垂 直与原有的一 个投影面
旋转法：
V
a'
ax
b'
b1 '
k 'B
a1 '
V1
c’ K
bx A
c1 '
C bx1
ax1 cx1
b
X
k
Ha
c
求直线的实长及对水平投影面的夹角角
V
a' x
b′ B
| ZA-B | a'
A1 o
A
b
a
x a
AB | ZA-B |
X
O
d
a
e
b
c
例题3.例4题.4四：过点C作一平面平行于直线AB。
b'
c'
a'
X
O
a
c b 平行于一条直线的平面可以有无数个
二. 直线与平面相交、平面与平面相交
（一） 直线与平面相交
1、共有点：既 属于直线又属 于平面