a
c
✓平行于△ABC内的正平
d
线
m●
n
b
唯一解
作图步骤 …
若本题改成平行于H面，如何求解？
（2） 两平面平行 几何条件是：
若一平面内的两相交直线分别 于另一平面内的两条相交直线 平行，则两平面平行。
两平面平行的问题
两组相交直线的平行问题
b
e f
c d
a
c
f
a
b
d e
若两平面垂直于同名投影面， 且积聚性投影互平行，则两平 面平行。
可见。
a
●
1
b
k
n
还可由V面重影点确定线段在V面的可见性。
例：求铅垂线MN与△ABC面的交点，并判别可见性。
投影分析
m
a
铅垂线MN的水平投影积聚成一个
点，故交点的水平投影也积聚在该
点，它是线与平面的共有点。
c
作图步骤
1) 用面上取点法求交点;
2) 利用V面重影点确定线段在V 面的可见性;
点1在平面内，在前(V面)；点2 c 在MN上，在后(V面)，k2为不 可见。
线与在投所影垂轴直的的夹投角影是平反面为什面映上什么？空的位么间投置？平影的面积与聚另成外直两线投。影该面直
夹角的大小。
另外两个投影面上的投影为类似形。
β
γ YH
γ α
YW
YH
βα YW
H
例：正垂面△ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶
点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。
c
a
2) 可见性：可从正面投影看出，
●m e
即交线左侧的△DEF部分在上， c 则该部分水平投影可见；
注意：交线总是可见；
其余部分可由推理得出可见性。
可见轮廓构成封闭图形。
例：求两正垂面的交线，并判别可见性。
d
e
m(n)
● b
c
f
d
e
m(n)
● b
c
f
a
a
b
b
d
n
d
n
第三章 工程制图投影理论
本章知识点及要求:
1. 掌握正投影的投影特性； 2. 掌握点、线、面的投影特征； 3. 掌握特殊位置直线与平面的投影规律； 4. 掌握直线与直线、平面与平面、平面与直线相对
位置投影特性（直线或平面至少有一个为特殊位 置）。
3.4 平面的投影
3.4.1 平面的表示法 3.4.2 各种位置平面及投影特征 3.4.3 平面内的点和直线
需要解决： ✓求交点 ✓判别线段可见性，即线段被遮挡
的关系，交点是可见性的分界点。不可见 线段画成虚线。
直线与平面的相交问题 可转化
●
●
两直线的相交问题
直线为一般位置，平面为特殊位置时：
V P
N B
b n
a k m
AK PH a
M bk
C cH
X
a
n
kb m
c
O
c
交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一 个投影可在直线的另一个投影上找到。
n 位于Δabc的范围外面，N是交线上的点，
f
●
k ●n
但不是两平面图形范围内的交线部分，
d
一般只描深公共范围内的部分，真正的
m(n) a
c(d)
b
f(e)
H
(a)直观图
(b)投影图
若平面的投影中有一个具有积聚性时，则判别直线与平 面是否平行只需看平面有积聚性的投影与已知直线的同 面投影是否平行即可。
例：过M点作直线MN平行于V面和△ABC平面。
b
空间分析
d
✓ 与V面平行的直线 直线是正平线
a
c m ●
n
✓ 与△ABC平行
3)描深LKM即为所求。
例：试判断两平面是否平行
b
m c
X
mc
b
a n
d
n a d
f
结论：两平面平行
s
r
e
O
e s rf
3.5.2 相交关系
分为：直线与平面相交，以及平面与平面相交 （本课程只讨论二者中至少有一个为特殊位置的情况）
（1） 直线与平面相交 几何特性是：
直线与平面相交，其交点是直 线与平面的共有点。
3.4.2 各种位置平面及投影特征
⒈ 平面与投影面的相对位置
平行于投影面
垂直于投影面
倾斜于投影面
特殊位置 投影规律
实形性
度量性好
积聚性 作图简单
一般位置
类似性 可推理空间形状
根据投影特性，
平面与投影面的位置关系可分为三类：
一般位置平面 与V，H，W三个投影面都倾斜
投影面平行面 平行于某一投影面
正平面（//Ｖ面） 侧平面（//Ｗ面） 水平面（//Ｈ面）
直(一般位置)和两平面垂直。
3.5.1 平行关系 分为：直线与平面平行，以及平面与平面平行
（1） 直线与平面平行 几何条件是：
直线与平面的平行问题
若平面外的一直线与平面内的 某一直线平行，则该直线与该 平面平行。
两直线的平行问题
由于EF∥BD， 且BD 是△ABC面内的一直
线，
因此直线EF∥△ABC 面。
●
a(b)
2 ● d(c) m● 1
●
g
e
f
n
●
d(c) m●
a(b)
g
可见部分涂色便于
区分遮挡关系
例：求正垂面与一般位置平面的交线，并判别可见性。
e
空间分析
c
m ●
a
k ●
n
●
b
正垂面△ABC的正面投影有 积聚性，分别可求出交线上的
f
d
点M和N，即两个共有点。
作图步骤
c
e
m●
1) 用面上取线的方法求交线； b 2) 可利用重影点判别可见性。
b d
f
a c
e
h
d acb e
h f
例 过点K作一平面，平行于由AB、CD两平行直线构成的平面。
l
空间分析
1. 根据平面间平行的 几何条件，先找出 相交二直线；
2. 作相交二直线的平 行线。
作图步骤
1)在AB、CD 平面内，取一条与AB、CD 相交的线，如AC ； 2)过K作KL∥AB，KM∥AC ；
(3) 特殊位置平面内的点和直线
特殊位置的平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成为直
线，因此特殊位置平面上的点、直线或平面图形，在该投影面
p’
上的投影都位于平面积聚性的这条直线上。 b’
t’ 45゜ c’
e’
例：已知点A、点B和直线CD的两
a’
d’
面投影。 （1）试过点A作正平面。
m’
n’
（2）过点B作正垂面，使α=45゜
例：求直线MN与铅垂面△ABC的交点，并判别可见性。
投影分析
△ABC是铅垂面，其水平投影积
b
n
聚为直线，与mn的交点k就是线
与平面的共有点。
k
a
1(2) ●
●
作图步骤
m
c
1) 用线上取点法求出交点的
正面投影k
2) 可直接从水平投影看出：KN
m ●2
●
c
段在平面前，即V面投影kn为
c
如何求解？
a b ● 45°
a 先进行空间分析
b
a
c b
❖可见投影线要用粗实线描深 ❖应清理无关的作图辅助线
此题有几个解？
3.4.3 平面内的点和直线
点和直线在平面上的几何条件：
（1）点在平面上的几何条件： 点必在平面内的某一直线上。
（2）直线在平面上的几何条件： ①通过平面上的两点； ②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。
●
g
1) 用面上取线的方法求交线； 2) 可利用重影点判别可见性。
点1在MG上，点2在CD上，点
1在前，点2在后，故mg 可见。
亦可通过直观判断。
例：求铅垂面与一般位置平面的交线，并判别可见性。
a′
d′
e′
f′
n′
●
b′
m′
●
● ′1(2 ′)
g′
c′
a′
f′
n′
●
b′
d′
m′
●
g′
c′
e
f
n
k●
b
●
1(2)
n
a
mk(n●2) ●
b
1
还可通过观察水平投影，cb在mn之前，得出km可见的同 样结论。
（2）两平面相交（至少一个平面为特殊位置）
几何特性：
两平面相交其交线为直线；交 线是两平面的共有线；交线上 的点都是两平面的共有点。
需要解决：
✓交线的求解方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点； ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。
●
f
●
f
a
a
●m
●m
e
c
e
c
可见部分涂色便 于区分遮挡关系
例：求铅垂面与一般位置平面的交线，并判别可见性。
a′ e′
f′
n′
●
b′
e
f
n
●
a(b)
d′
空间分析
m′
铅垂面ABCD的水平投影具有积
●
●1′(2 )′
聚性，分别与fg和eg的交点是m和 n ，即两个共有点的投影。
g′
c′
作图步骤
2 ● d(c) m● 1