n1
2
1 1 (n 1) ( 1) 1 n 5
sn s1
2 23n
sn1 5
6 3n
5
6 3(n
1)
an
(3n
18 5)(3n 8)
练习：已知数列{an }满足an 3snsn1 0(n 2)
a1
1 3
.(1)求证{ 1 sn
}成等差数列
an an1 an2 an3 110
a1 a2 a3 a4 an an1 an2 an3 110 26
4(a1 an ) 136
sn
n(a1 2
an )
187
n 34 187n 11 2
例3 : 求满足下列条件的数列的通项
（1）s 2n2 3n;(2)s 2n2 3n 4
k 2k k 3k 2k
练习：等差数列{an }中，S10 310, S20 1220,求S30的值。
作业：等差数列测试卷B
（2）求{an }表达式.
例6：已知f (x) (1)求f 1( x)
1 (x 2) x2 2
（2）若a1
1, 1 an1
f
1(an )求an
解： y 1 ( x 2) x2 2
x2 2 1 x 1 2
y2
y2
f （ 1 x) 1 2( x 0) x2
(2) 1 f 1(a )
则S24= 120 .
3. 在等差数列{an }中，S6=65，
a7+a8+a9+a10+a11+a12=-15，
则a13+a14+ a15+a16+a17+a18=-95
.
例2 一个等差数列的前四项的和为26，最 后四项的和为110，所有项的和为187，则 该数列共有多少项？
解：a1 a2 a3 a4 26
ax b
3
f（x) x只有一个实根。
（1）求f ( x)的解析式
(2)若满足an f (an1 )(n 2)
证明数列{ 1 }是等差数列。 an
例7：已知等差数列{an }，前n项和sn， 求证：S6 , S12 S6 , S18 S12成等差数列。 设k N , S , S S , S S ,成等差数列
等差数列的性质： （1）等差中项：2an=an+1+an-1 (2A=a+b)
= (2)在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1— = = —a3+ an-2 …am+an-m
3.在等差数列{an}中，由
m+n=p+q
am+an=ap+aq
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立的；
②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，
an1
n
( 1 )2 an1
1
(a
)
2
n
2
1 2 (a )2
n
1 1 2
(an1 )2
(a )2 n
1 1 (n 1) 2
(a )2 (a )2
n
1
1 1 (n 1) 2 2n 1
(a )2
n
a
1
n 2n 1
练习：设函数f ( x) x (a 0)若f (1) 1 ,
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
解： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知
a3+a11=10，
∴
a6+a7+a8=
3 2
（a3+a11）=15
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187， 求a14 及公差d.
解： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
（1）求证：{ 1 }成等差数列 sn
（2）求通项an
证明： 1 1 sn1 sn sn sn1 sn • sn1
1 1 sn1 sn an 1
sn sn1 sn • sn1 2a n
2
1 1 1
s s n
n1
2
数列{ 1 }是等差数列 sn
（2） 1 1 1
s s n
又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得
a4= 17 a7= 11
或
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
课堂练习：
1. 在等差数列{an}中，a1-a5-a9-a13+a17=-6
则S17= 102 .
2. 在等差数列{an }中，a5+a10+a15+a20 =20
n
n
例4有两个等差数列{an },{bn },前n项和分别为： s ,T 若 Sn 7n 2 .求 a5 n n Tn n 3 b5
练习: 等差数列{an }，{bn }前项和分别为： Sn和Tn；且Sn :Tn (2n 5) : (5n 3)， 求a9 : b9的值.
例5：已知数列{a n }的首项a1 3,通项an 和sn满足2an sn • sn1(n 2),
如a1+a2=a3 成立吗？
4数列{an }的前项和sn an成等差数列 sn an2 bn
且公差d 2a，a1 s1 .
例题分析
例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
解：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10