2.2 等差数列概念、通项公式、性质第1课时 等差数列的概念及通项公式题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a ，a ，a ，a ，a ，….跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．题型三 等差数列通项公式的求法及应用例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项．(2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)．(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式．【课堂练习】1．下列数列不是等差数列的是( )A ．1,1,1,1,1B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,22．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( )A ．公差为1的等差数列B ．公差为13的等差数列 C ．公差为－13的等差数列 D ．不是等差数列 5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．451．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.【巩固提升】一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( )A ．52B ．62C ．－62D ．－523．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )A ．52B ．51C ．50D ．494．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．26B ．29C ．39D ．525．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( )A ．15B ．22 C7 D ．296．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则a b等于( ) A.14 B.12 C.13 D.238．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12 B.13 C.14 D.16二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________．10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．12. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________.三、解答题13．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式．14．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式．2.2.1答案例1.由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．跟踪训练1 .A例2. ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.跟踪训练2 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10.两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3.例3 解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5.令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ，所以a 10＝13－10＝3.跟踪训练3 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3，由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．典例1 (1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋3n ，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列． (2)解 由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n 3， 故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)，∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2.当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3，又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，2n －3，n ≥2.课堂练习DCBBC巩固提升1—8 DAACABCA9. a n ＝n 4＋1 10. 6766 11. ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 12. 11013. 解 设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.14． (1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋2(6a n －4)－2(a n ＋2) ＝a n ＋24a n －8＝(a n －2)＋44(a n －2)＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列． (2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34， 所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋. 15.解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ，∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k .∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.2.2第2课时 等差数列的性质题型一 a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式．跟踪训练1 {b n }为等差数列，若b 3＝－2，b 10＝12，则b 8＝________.题型二 等差数列性质的应用例2 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．引申探究1．在例2中，不难验证a 1＋a 4＋a 7＝a 2＋a 4＋a 6，那么，在等差数列{a n }中，若m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ，m ，n ，p ，q ，r ，s ∈N ＋，是否有a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s ？2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.跟踪训练2 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值．题型三 等差数列的设法与求解例3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．跟踪训练3 三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．数列问题如何选择运算方法典例 等差数列{a n }中，a 3＋a 7＋2a 15＝40，求a 10.【课堂练习】1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( )A ．3B ．－6C ．4D ．－32．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( )A ．32B ．－32C ．35D ．－353．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A ．3B ．－3C ．32D ．－324．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－825．在等差数列{a n }中，已知a 2＋2a 8＋a 14＝120，则2a 9－a 10＝________.1．在等差数列{a n }中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．2．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．【巩固提升】一、选择题1．已知数列{a n }为等差数列，a 3＝6，a 9＝18，则公差d 为( )A ．1B ．3C ．2D ．42．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( )A ．45B ．75C ．180D ．3003．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．12B ．8C ．6D ．44．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝－1，a 11－a 4＝21.则a 7等于( )A ．7B ．10C ．20D ．305．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 36．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 15＝30，则a 9等于( )A ．12B ．24C ．16D ．327．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或28．已知{a n }是公差为正数的等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13的值为() A ．105 B ．120 C ．90 D ．75二、填空题9．在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，m ，n ∈N ＋，则a m ＋n 的值为________．10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．11．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列 第2列 第3列 …第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 …… … … … …那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是__________．12．若等差数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3，则{a n }的通项公式为__________________．三、解答题13．在等差数列{a n }中，(1)若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，求a 7－12a 8；(2)已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，求2a 9－a 10.14．已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24.(1)求a 20的值；(2)若b n ＝32a n －412，试判断数列{b n }从哪一项开始大于0.15．已知两个等差数列{a n}：5,8,11，…与{b n}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？2.2.2答案例1 在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为a n＝a2＋(n－2)d，所以a n＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.跟踪训练1 . 8例2 解方法一因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，a n＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；若d＝－2，a n＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5. ①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，②联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即a n＝－1＋2(n－1)＝2n－3；或a n＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1．解设公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，a r＝a1＋(r－1)d，a s＝a1＋(s－1)d，∴a m＋a n＋a p＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，a q＋a r＋a s＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ，∴a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s .2．20解析 ∵a 3＋a 8＝10，∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝20. ∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝a 5＋a 5＋a 5＋a 7，即3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20.跟踪训练2解 方法一 ∵(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝3d ， (a 3＋a 6＋a 9)－(a 2＋a 5＋a 8)＝3d ，∴a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9成等差数列． ∴a 3＋a 6＋a 9＝2(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝2×33－39＝27.方法二 ∵a 1＋a 4＋a 7＝a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d ) ＝3a 1＋9d ＝39，∴a 1＋3d ＝13， ①∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋7d ) ＝3a 1＋12d ＝33.∴a 1＋4d ＝11，② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－2，a 1＝19.∴a 3＋a 6＋a 9＝(a 1＋2d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋8d ) ＝3a 1＋15d ＝3×19＋15×(－2)＝27.例3. 解 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，且d >0.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，d ＝－2.∵d >0，∴a ＝6，d ＝2.∴这个数列是4,6,8.跟踪训练3. 解 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝6，(a －d )·a ·(a ＋d )＝－24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，d ＝－4.∴所求三个数为－2,2,6或6,2,－2.典例 解 方法一 设{a n }的公差为d .则a 3＋a 7＋2a 15＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋2(a 1＋14d ) ＝4a 1＋36d ＝4(a 1＋9d )＝4a 10＝40，∴a 10＝10.方法二 ∵a 3＋a 7＋2a 15＝a 3＋a 7＋a 15＋a 15＝a 10＋a 10＋a 10＋a 10＝40， ∴a 10＝10.课堂练习 BCAD 30巩固提升１—８CCBCDADA９．０１０.－２１１１. n2＋n１２. an ＝2n －52１３．解 (1)a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. (2)∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24. ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.1４．解 (1)因为a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24， 所以a 3＝6，a 4＝8，则公差d ＝2， 所以a 20＝a 3＋17d ＝40.(2)由(1)得a n ＝a 3＋(n －3)d ＝6＋(n －3)×2＝2n ，所以b n ＝32×2n －412＝3n －412. 由b n >0，即3n －412>0，得n >416， 所以数列{b n }从第7项开始大于0. １５. 解 因为a n ＝3n ＋2(n ∈N *)，b k ＝4k －1(k ∈N *)，两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得，所以n ＝43k －1.而n ∈N *，k ∈N *， 所以设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，且r ∈N *，可得1≤r ≤25. 所以共有25个相同数值的项．。