等差数列一、等差数列的定义以及证明方法：1、定义：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列.注意一些等差数列的变形形式，如：111n n d a a +-=（d 为常数，此时，数列{1na }为等差数列）d =(d为常数，此时，数列⎧⎫为等差数列) ……2、证明方法：（1）定义法：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列.（2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2（3）通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n =pn+q 的一次函数，则数列{a n }为等差数列. （4）若数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ，则数列{a n }为等差数列.【例题1】【2013年，北京高考（文）】给定数列a 1，a 2，a 3，……，a n ，……，对i =1，2，……，n-1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n –i 项a i+1，a i +2，……，a n 的最小值记为B i ，d i =A i –B i .(I)设数列{a n }为3，4，7，1，求d 1，d 2，d 3的值.(II)设d 1，d 2，……，d n -1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，a 3，……，a n -1是等差数列.3、等差数列的通项公式：（1）等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d 累加法和逐项法：对于形如1nna a f n 的形式，我们一般情况下，可以考虑使用逐项法或者累加法，从而达到求a n 的目的.变形形式： a n =a m +(n-m )d由以上公式可以得到：n ma a d n m-=-（2）等差数列通项公式的一些性质：①若实数m,n,p,q 满足：m+n=p+q ，则：n m p q a a a a +=+；特别的，若m+n=2p ，则：2n m p a a a +=；②若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列；③若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等差数列，则数列{pa n +qb n }还是等差数列； ④当d >0时，{a n }为递增数列；当d =0时，数列{a n }为常数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；【例题1】【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试，3】在等差数列{}n a 中,首项01=a ,公差,0≠d 若7321a a a a a k ++++= ,则k =（ ）A . 22B . 23C . 24 D. 25【变式训练】【2015届吉林省东北师大附中高三上学期第三次摸底考试，3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,15a S ==，则6a 等于 （ ） A .8 B .7 C .6 D .5 4、等差数列的求和问题：——方法：倒序相加()()()111111222n n n n n nS a a a a n d na d -=+=++-=+⎡⎤⎣⎦ （1）在等差数列{a n }中，k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列；或者：()233k k k S S S -=； （2）奇偶项问题：在等差数列中，若项数为偶数项，即：当n=2m （n,m ∈N*）时，有：S 偶-S 奇=md ，1=mm S a S a +奇偶；如果项数为奇数，即当n=2m+1时，此时，()()121121212m m m S a a m a +++=+=+⋅； 1=S m S m +奇偶，项数n=+-S S S S 奇偶奇偶. （3）若两个数列{a n }和{b n }均为等差数列，其前n 项和和前m 项和分别为S n 和T m ，则有：21212121n n m m a S m b n T ---=⋅-，当m=n 时，则：2121n n n n a S b T --= （4）等差数列前n 项和的最值问题： 由()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭以及二次函数的知识可知，当d >0时，抛物线的开口向上，此时有最小值；当d <0时，抛物线的开口向下，此时函数有最大值。

要注意的是不管是求最大值还是最小值，都不能忽视一个隐含条件，即：n ∈N*. （5）求绝对值和的两种情况：情形一、奇偶项交替出现，绝对值数列为等差数列，此时，我们只要把负号去掉，直接按等差数列求和即可；情形二、数列共n 项，前m (m<n )项的符号和后面n-m 的符号相反，此时，我们采取分组求和的方法求出数列的和.（6）前n 项和与a n 的关系：11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【例题2】【2015届黑龙江省哈六中高三上学期期末考试，7】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S =（ ).A 18 .B 36 .C 54 .D 72【变式训练】【2015届安徽省江南十校高三期末大联考】4．设{}n a 是首项为12-,公差为d (d ≠0)的等差数列，n S 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则d =A .-1B .12-C.18D.12【例题3】【2015届河北省邯郸市高三1月质检，17】等差数列{}n a 中，11-=a ，公差0≠d 且632,,a a a 成等比数列，前n 项的和为n S . （1） 求n a 及n S ；（2）设11+=n n n a a b ，n n b b b T +++= 21，求n T .【变式训练】【2015届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次调研考试，19】已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．【例题4】【2015届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次调研考试，7】数列{}n a ，满足对任意的n N +∈，均有12n n n a a a ++++为定值．若792,3,a a == 984a =，则数列{}n a 的前100项的和100S =A .132B .299C .68D .99【变式训练】【2015届山西省山大附中高三12月月考，4】已知等差数列{}n a 且()()48231310753=++++a a a a a ，则数列{}n a 的前13项和为A .24B .39C .52D .104【例题5】【杭州外国语学校2015届高三期中考试（文），20】已知{}n a 是等差数列，公差为d ，首项31=a ，前n 项和为n S .令(1)(N )n n n c S n *=-∈,{}n c 的前20项和20330T =.数列}{n b 满足n b =212(2)2n n a d---+，R a ∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1n n b b +≤，n *∈N ，求a 的取值范围.【变式训练】【浙江省深化课程改革协作校 2015届11月期中联考（文），19】 数列{}n a 满足341-=++n a a n n )(+∈N n . （Ⅰ）若{}n a 是等差数列，求其通项公式；（Ⅱ）若{}n a 满足21=a ，n S 为{}n a 的前n 项和，求12+n S .【课时作业】1、【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试，5】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且538,6a S ==，则9a 等于 A .12 B . 8 C .16 D .242、【2015届福建省泉州五校高三联考，10】已知函数()()cos ,0,2f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ，且方程()()0f x m m =≠有两个不同的实根34,x x ，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝ A .12B ．－12C .32D ．－323、【2015届河北省邯郸市高三1月质检，10】已知等差数列{}n a 中，11=a ，前10项的和等于前5的和，若06=+a a m 则=mA .10B .9C .8D .24、【2015届山西省山大附中高三12月月考，4】已知等差数列{}n a 且()()48231310753=++++a a a a a ，则数列{}n a 的前13项和为A .24B .39C .52D .1045、【2015届安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测，6】等差数列{a n }的通项是12n a n =-，前n 项和为S n ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和为 A ．—45B ．—50C ．—55D ．—666、【2015届福建省泉州五校高三联考，17】在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和)(*∈N n ，且243,16a S == （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7、【2015届福建省泉州五校高三联考，17】在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和)(*∈N n ，且243,16a S == （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．8、【2015届山东省泰安市高三上学期期末考试18】若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()21262n n n S S S n n N *++++=-∈. （I ）若数列{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式. （II ）若121a a ==，求50S .9、【2015届山东省泰安市高三上学期期末考试，18】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：35915,30.S a a =+= （I ）求n n a S 及；（II ）数列{}n b 满足()()2n n b S n n N +-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证:2n T <.10、【2015届河北省保定市高三上学期期末考试，18】已知等差数列{}n a 的前n S 项和为n S ，{}13,n a b =为等比数列，且11b =，220,10n b b S >+=，53253,S b a n N *=+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .。