2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合2{|{|0}A x y B x x x ===-≤，则A B = （ ）
A ．[0,1)
B ．[0,1]
C ．[0,2)
D ．[0,2]
2．已知复数1i ()z b b =+∈R ，2i z
+是纯虚数，则b =（ ） A ．2-
B ．12-
C ．12
D ．1
3．若0.23
31
log ,ln ,0.622
a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>
4．首项为21-的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A ．3d >
B ．7
2
d <
C ．732
d <
≤ D ．732
d <≤
5．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”， 也就是人们常说的“天圆地方” ．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为(0)a a r <<，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）
A ．2
2
(1)a p r -
B ．2
2
(1)a p r +
C ．(1)a
p r -
D ．
(1)a
p r
+
6． 在三棱柱111ABC A B C -中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面11ACC A （包括边界）上一点，若
//EF 平面11BCC B ，则动点F 的轨迹是（ ）
A ．线段
B ．圆弧
C ．椭圆的一部分
D ．抛物线的一部分
1
7．函数1
()2f x x x
=-+
的图象大致是（ ）
8．如图，在梯形ABCD 中，//,,22,AB CD AB AD AB AD DC E ⊥==是BC 的中点，F 是AE 上一
点，2AF FE = ，则BF =
（ ）
A ．1123
AB AD -
B ．1132
AB AD -
C ．1123AB A
D -+
D ．1132
AB AD -+
9．已知命题21:n
p x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，仅有第7项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为495；命
题:q 随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.7P ξ<=，则(02)0.3P ξ<<=．现给出四个命题：①p q ∧，②p q ∨，③()p q ∧⌝，④()p q ⌝∨，其中真命题是（ ） A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
A
B
C
D
E
F
-在角α的终边上，则
14．下表是某厂2020年1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据
月份x 1 2 3 4 用水量y
2.5
3
4
4.5
由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较明显的线性相关关系．其线性回归方程是ˆˆ 1.75y
bx =+
，预测
15．过抛物线24y x =焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，且4AB =，若原点O 是ABC △的垂心，则点C 的坐标为 ．
sin 2α=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点P (2,1)．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）
ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,3
a B π
==
，ABC △ （1）求ABC △的周长； （2）求cos()B C -的值．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AC AB =，11B C BC O = ． （1）求证：1B C AB ⊥；
（2）若160CBB ∠=︒，AC BC =，且点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，求二面角1B AA C --的余弦值．
1
19．（本小题满分12分）
已知点,A B 的坐标分别为(0),，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为3-，记
M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；
（2）直线y kx m =+与曲线E 相交于,P Q 两点，若曲线E 上存在点R ，使得四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
当今世界科技迅猛发展，信息日新月异．为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查．该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统计如下表：
借阅科技类图书（人）借阅非科技类图书（人）
年龄不超过50岁20 25
年龄大于50岁10 45
（1）是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？
（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书．用上表中的样本频率作为概率的估计值．
（i）现有3名借阅者每人借阅一本图书，记此3人增加的积分总和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期
望；
（ii）现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
2
()
P K k
≥0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
21．（本小题满分12分）
已知函数()ln sin (0)f x x x ax a =-+>．
（1）若1a =，求证：当1,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()21f x x <-； （2）若()f x 在(0,2)π上有且仅有1个极值点，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．
22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα
=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22413sin ρθ
=
+． （1）写出曲线1C 和2C 的直角坐标方程； （2）已知P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的切线，切点为A ，求PA 的最大值．
23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()122f x x x =+--的最大值为M ，正实数,a b 满足a b M +=．
（1）求222a b +的最小值； （2）求证：a b
a b ab ≥．。